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第三章 一元一次方程

本章小結(jié)
小結(jié)1 本章內(nèi)容概覽
本章的主要內(nèi)容包括：一元一次方程及其相關(guān)的概念，一元一次方程的解法，利用一元一次方程分析與解決實(shí)際問題．其課標(biāo)要求是：了解一元一次方程及其相關(guān)的概念和性質(zhì)，掌握一元一次方程的解法和一般步驟，初步認(rèn)識方程與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，建立列方程解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，感受方程的應(yīng)用價值，提高分析問題、解決問題的能力．
小結(jié)2 本章重點(diǎn)、難點(diǎn)：
本章重點(diǎn)是一元一次方程的解法和列一元一次方程解應(yīng)用題．難點(diǎn)是根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列一元一次方程．
小結(jié)3 本章學(xué)法點(diǎn)津
1．學(xué)好本章的關(guān)鍵在于正確理解方程及方程的解的概念和等式的兩個性質(zhì)，了解算術(shù)和代數(shù)的主導(dǎo)思想的區(qū)別及找準(zhǔn)問題中的等量關(guān)系．
2．在學(xué)習(xí)本章時，要深刻理解方程的思想，即未知量可以和已知量一起表示數(shù)量關(guān)系，找到數(shù)量之間的等量關(guān)系就可列方程，即建立數(shù)學(xué)模型．“建模思想”和解方程中蘊(yùn)涵的“化歸思想”是本章滲透的主要數(shù)學(xué)思想．另外，要加強(qiáng)練習(xí)，鞏固好基礎(chǔ)知識和基本技能．因為一元一次方程是最基本的代數(shù)方程，學(xué)好它對于后續(xù)學(xué)習(xí)(其他的方程以及不等式、函數(shù)等)具有重要的作用．
知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

重點(diǎn)題型及應(yīng)用
題型一 靈活解一元一次方程
解一元一次方程的一般步驟是：(1)去分母；(2)去括號；(3)移項；(4)合并同類項；(5)把系數(shù)化為1．根據(jù)方程的特點(diǎn)，可靈活運(yùn)用五個步驟，以簡化運(yùn)算．
例1 解方程： ．
分析：此題中括號外的系數(shù)是分?jǐn)?shù)，小括號外的系數(shù)也是分?jǐn)?shù)，這種類型的方程解法比較靈活，可以先去括號，再去分母；也可以先去分母，再去括號．
解法1：去中括號，得 ．
去小括號，得 ．
去分母，得2x－ x ＋1=4 x－2．移項，得2 x－ x －4 x＝－2－1．
合并同類項，得－3 x＝－3．系數(shù)化為1，得x＝1．
解法2：方程兩邊同乘6，得 ．
去中括號，得2x－(x－1)=4(x－ )．去小括號，得2x－ x＋1=4 x－2．
移項，得2 x－ x－4 x=－2－1．合并同類項，得－3 x ＝－3．系數(shù)化為1，得x＝1．
點(diǎn)撥
若方程中合有多層括號，則應(yīng)按照分配律先由內(nèi)向外(或由外向內(nèi))去括號，再去分母，但也有時先去分母，再去括號會更簡便，這取決于所給方程的特點(diǎn)，因此解方程時，應(yīng)靈活地選取方法，盡量使過程簡單，而又不產(chǎn)生錯誤.
例2 解方程： ．
分析：本題按照常規(guī)的解方程的步驟，應(yīng)先去分母，但考慮本題特點(diǎn)，可把 拆成 ，把 拆成 來解．
解：原方程可寫成 =1.
約分，移項，得
合并同類項，得－x＝ .系數(shù)化為1，得x＝－ .
評注
本題采用的是“拆項法”，此方法比常規(guī)方法簡便，但這種方法不是對所有的一元一次方程都適用，需要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活應(yīng)用．
題型二 方程的解的應(yīng)用
例3 關(guān)于x的方程2x－4＝3m和x＋2＝m有相同的解，則m的值是( )
A．10 B．－8 C．－10 D．8
解析：解方程2x－4=3m，得x= ．解方程x＋2＝m，得x＝m－2．由兩方程解相同，得 ＝m－2，解得m＝－8．
答案：B
例4 已知y＝3是6＋ (m－y)＝2y的解，那么關(guān)于x的方程2m(x－1)＝(m＋1)(3x－4)的解是多少?
分析：把y＝3代入第一個方程，使這個方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的方程，解出m的值，再代入第二個方程，求出x的值．
解：y＝3代入方程6＋ (m－y)＝2y，得6＋ (m－3)＝6．解得m＝3．
將m＝3代入2m(x－1)＝(m＋1)(3x－4)，得
2×3(x－1)＝(3＋1)(3x－4)．解得x＝ .
方法
先利用第一個方程求出字母m的值，再把m值代入第二個方程解第二個方程，培養(yǎng)思考問題的綜合能力．
題型三 一元一次方程的應(yīng)用
例5 一通訊員騎摩托車需要在規(guī)定時間，把文件送到某地，若每小時走 60千米，就早到12分鐘；若每小時走50千米，則要遲到7分鐘，求路程．
分析：如果設(shè)規(guī)定時間為x小時，當(dāng)每小時走60千米時，則路程為60 千米；當(dāng)每小時走50千米時，則路程為50 千米．這時可用路程相等列出方程．
解：設(shè)規(guī)定時間為x小時，根據(jù)題意，得60 =50 ．
解得 ．所以路程為6 =60× ＝95千米．
答：路程為95千米．
例6 某校校長暑假將帶領(lǐng)該校市級“三好學(xué)生”去北京旅游，甲旅行社說：“如果校長買全票一張，則其余學(xué)生可享受半價優(yōu)惠”．乙旅行社說：“包括校長在內(nèi)全部按全票價的六折優(yōu)惠”，若全票價為240元，
(1)設(shè)學(xué)生數(shù)為x，甲旅行社收費(fèi)為y甲，乙旅行社收費(fèi)為y乙，分別計算兩家旅行社的收費(fèi)(建立表達(dá)式)；
(2)當(dāng)學(xué)生數(shù)是多少時，兩家旅行社的收費(fèi)一樣?
分析：(1)問分別用含x的式子表示y甲、y乙. (2)問是當(dāng)y甲=y乙時求x.
解：(1)因為全票價為240元，所以半票價為120元，
這樣甲旅行社收費(fèi)為y甲＝120x＋240．
又因為全票價為240元，所以全票價的60％為240× =144(元)，
這樣乙旅行社收費(fèi)為y乙＝144x＋144．
(2)因為甲旅行社收費(fèi)為y甲，乙旅行社收費(fèi)為y乙，
所以當(dāng)兩家旅行社收費(fèi)一樣時，即有方程120x＋240＝144x＋144．
解這個方程，得x＝4．
答：當(dāng)學(xué)生數(shù)為4時，兩家旅行社收費(fèi)一樣．
例7 某商場將彩電先按原價提高40％，然后在廣告中寫上“大酬賓，八折優(yōu)惠”，結(jié)果每臺彩電比原價多賺了270元，那么每臺彩電原價是多少元?
分析：假設(shè)每臺彩電原價是x元，則提高40％后為(1＋40％) x元，八折為(1＋ 40％) x?80％元，也就是現(xiàn)售價為(1＋40％) x?80％元．
解：設(shè)每臺彩電原價是x元，根據(jù)售價與原價之差等于270，列方程得
x (1＋40％)?80％－x＝270，解得x＝2 250．
答：每臺彩電原價是2 250元．
例8 某中學(xué)租用兩輛汽車(設(shè)速度相同)同時送1名帶隊老師及7名九年級的學(xué)生到縣城參加數(shù)學(xué)競賽，每輛限坐4人(不包括司機(jī))．其中一輛小汽車在距離考場 15千米的地方出現(xiàn)故障，此時離截止進(jìn)考場的時間還有42分，這時唯一可利用的交通工具是另一輛小汽車，且這輛車的平均速度是60千米／時，人步行的速度是 5千米／時(上、下車時間忽略不計)．
(1)若小汽車送4人到達(dá)考場，然后再回到出故障處接其他人，請你通過計算說明他們能否在截止進(jìn)考場的時間前到達(dá)考場；
(2)假如你是帶隊的老師，請你設(shè)計一種運(yùn)送方案，使他們能在截止進(jìn)考場的時間前到達(dá)考場，并通過計算說明方案的可行性．
分析：本題是一道開放性的方案設(shè)計問題，解答時應(yīng)注意分各種情況進(jìn)行討論．
解：(1) ×3= (時)=45(分)．
因為45＞42，所以不能在限定時間內(nèi)到達(dá)考場．
(2)方案：先將4人用車送到考場，另外4人同時步行前往考場，汽車到考場后返回到與另外4人的相遇處再載他們到考場．
先將4人用車送到考場所需時間為 ＝ (時)＝15(分)．
時另外4人步行了1．25千米，
此時他們與考場的距離為15－1．25＝13．75(千米)．
設(shè)汽車返回t(時)后與步行的4人相遇，則有5t＋60t=13．75，解得t= ．
汽車由相遇點(diǎn)再去考場所需時間也是 小時．
所以用這一方案送這8人到考場共需15＋2× × 60≈40．4(分)＜42(分)．
所以這8個人能在截止進(jìn)考場的時間前趕到．
題型四 圖表類應(yīng)用題
例9 (1)七年級(1)班43人參加運(yùn)土勞動，共有30根扁擔(dān)，要安排多少人抬土，多少人挑土，可使扁擔(dān)和人數(shù)相配不多不少?若設(shè)有 人挑土，填寫下表：
挑土抬土
人數(shù)／人
扁擔(dān)／根
即可知兩個等量關(guān)系：
挑土人數(shù)＋抬土人數(shù)＝43人，挑土用扁擔(dān)數(shù)＋抬土用扁擔(dān)數(shù)＝30根．
根據(jù)等量關(guān)系，列方程 ，解得x＝ ，因此挑土人數(shù)為 ，抬土人數(shù)為 ．
你能用其他方法計算這道題嗎?
(2)如果參加勞動的人數(shù)不變，扁擔(dān)數(shù)為20根可以嗎?為什么?
分析：有x人挑土，則用扁擔(dān)x根，剩余的(43－x)人抬土，需用扁擔(dān)數(shù)為 (43－x)根，可列方程為x＋ (43－x)＝30，解得x＝17，即有挑土人數(shù)為17，抬土人數(shù)為43－17=26．還可以利用“挑土人數(shù)＋抬土人數(shù)＝43人”列方程．
解：(1)列表如下：
挑土抬土
人數(shù)／人x43－x
扁擔(dān)／根x (43－x)

x＋ (43－x)=30；17；17；26．
能．設(shè)挑土用x根扁擔(dān)，則抬土用(30－x)根扁擔(dān)，挑土用x人，抬土用2(30－ x)人．
根據(jù)題意，得x ＋2(30－ x)＝43．解得x =17．
因此，挑土人數(shù)為17，抬土人數(shù)為2(30－17)＝26．
(2)不可以，因為若20根扁擔(dān)用于挑土，則需20人＜43人；若20根扁擔(dān)用于抬土，則需40人＜43人，因此，人員有剩余．所以參加勞動的人數(shù)不變，扁擔(dān)數(shù)為20根不可以．
點(diǎn)撥
此題關(guān)鍵是如何利用人數(shù)與扁擔(dān)數(shù)的關(guān)系列方程．由生活常識可知，挑土 1人用l根扁擔(dān)，抬土2人用l根扁擔(dān)．
例10 下面是甲商場電腦產(chǎn)品的進(jìn)貨單，其中進(jìn)價一欄被墨水污染，讀了進(jìn)貨單后，請你求出這臺電腦的進(jìn)價．
甲商場商品進(jìn)貨單
電腦供貨單位乙單位
品名P4200
商品代碼DN—63DT
商品所屬電腦專柜
標(biāo)價5 850元
折扣八折
利潤210元
分析：本題應(yīng)先讀懂圖表所提供的信息，明確題目的條件和所求，此題等量關(guān)系為：售價－進(jìn)價=利潤．
解：設(shè)這臺電腦的進(jìn)價為x元．
根據(jù)題意，得5 850×0．8－x＝210．解得x＝4 470．
答：這臺電腦的進(jìn)價為4 470元．
注意
商品打八折后的售價等于標(biāo)價×0．8．
思想方法歸納
方程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模思想，主要培養(yǎng)同學(xué)們的運(yùn)算能力、觀察能力和靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，數(shù)學(xué)的價值．主要解題思想方法如下：
1．轉(zhuǎn)化思想
本部分內(nèi)容在轉(zhuǎn)化思想上的主要體現(xiàn)是利用方程的概念求代數(shù)式的值、巧解方程等．
例1 已知方程3x2－9x＋m＝0的一個解是1，則m的值為 ．
分析：根據(jù)方程解的定義，把方程的解x＝1代入方程成立，然后解關(guān)于m的方程即可．
解：把x=1代入原方程，得3×12－9×1＋m＝0，解得m=6． 答案：6
方法
解題依據(jù)是方程的定義，解題方法是把方程的解代入原方程，轉(zhuǎn)化為關(guān)于待定系數(shù)的方程．
例2 如果4x2＋3x－5＝kx2－20 x ＋20 k是關(guān)于x的一元一次方程，那么k= ，方程的解是 ．
解析：要判斷一個方程是不是一元一次方程，首先應(yīng)先化為最簡形式，原方程化為一般形式得(4－ k) x2＋23 x－5－20 k＝0．由一元一次方程的定義知4－ x＝0，解得k＝4．把k＝4代入方程得23 x－85＝0，解得x＝ ． 答案： 4；x＝
技巧
判斷一個方程是不是一元一次方程，應(yīng)先化為最簡形式，再根據(jù)一元一次方程的定義來判斷．
2．方程思想
本部分內(nèi)容方程思想的體現(xiàn)主要是列方程解決實(shí)際問題．
解決問題的關(guān)鍵是分析題意，找出題目中的相等關(guān)系，列出一元一次方程，解出方程，得出答案．
例3 某中學(xué)甲、乙兩班學(xué)生在開學(xué)時共有90人，如果從甲班轉(zhuǎn)入乙班4人，結(jié)果甲班的學(xué)生人數(shù)是乙班的80％，問開學(xué)時兩班各有學(xué)生多少人?
解：設(shè)開學(xué)時甲班有x人，則乙班有(90－x)人，根據(jù)題意，得
x－4=(90－x ＋4)×80％，5x－20＝360－4x＋16，即x＝44，90－x＝46．
答：開學(xué)時甲班有44人，乙班有46人．
點(diǎn)撥
調(diào)配問題是：一方增多，另一方要減少，注意變化前后的關(guān)系是列方程的關(guān)鍵．
例4 如圖3－5－1所示，在水平桌面上有甲、乙兩個內(nèi)部呈圓柱形的容器，內(nèi)部底面積分別為80 cm2、100 cm2，且甲容器裝滿水，乙容器是空的．若將甲中的水全部倒入乙中，則乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8 cm，則甲的容積為( )
A．1 280 cm3 B．2 560 cm3
C．3 200 cm3 D．4 000 cm3
解析：設(shè)甲容器的高度為x cm，則乙容器中水的高度為(x－8)cm．根據(jù)兩容器中水的體積不變可得80x=100(x－8)．解得x＝40．所以甲容器的容積為80×40＝3 200(cm3)．故選C．
答案：C
點(diǎn)撥
在等積問題中，物體的形狀改變了，但體積不變，根據(jù)體積相等列方程求解．
中考熱點(diǎn)聚焦
考點(diǎn)1 一元一次方程的解
考點(diǎn)突破：在中考中對一元一次方程的解的考查，一般以填空題的形式出現(xiàn)．已知一元一次方程的解，求未知字母的值．解決此類問題的思路是：將解代入一元一次方程，轉(zhuǎn)化成關(guān)于未知字母的方程，從而求解．
例1 (2010?江蘇宿遷中考)已知5是關(guān)于x的方程3x－2a＝7的解，則a的值為 ．
解析：因為5是關(guān)于x的方程3x－2a＝7的解，所以3× 5－2a＝7．所以a＝4．
答案：4
例2 (20l0?湖南懷化中考)已知關(guān)于x的方程3x－2m＝4的解是x＝m，則m的值是 ．
解析：把x＝m代入3x－2m＝4，得3m－2m＝4，所以m＝4． 答案：4
考點(diǎn)2 解一元一次方程
考點(diǎn)突破：一元一次方程是初中數(shù)學(xué)方程與方程組的基礎(chǔ)，是中考命題的重點(diǎn)，解一元一次方程一般難度不大，只要牢記解一元一次方程的步驟，就能求出正確的解．
例3 (2010?福建泉州中考)方程2x＋8＝0的解是 ．
解析：由2x＋8＝0，2x＝－8，得x＝－4． 答案：x＝－4
考點(diǎn)3 一元一次方程的應(yīng)用
考點(diǎn)突破：一元一次方程在生活中應(yīng)用廣泛，一元一次方程的應(yīng)用在中考中時常出現(xiàn)，解一元一次方程的應(yīng)用題，要明確已知量與未知量，找出題目中的相等關(guān)系，就能列出元一次方程，進(jìn)而求解．
一、選擇題
1. （2011山東日照，4，3分）某道路一側(cè)原有路燈106盞，相鄰兩盞燈的距離為36米，現(xiàn)全部更換為新型的節(jié)能燈，且相鄰兩盞燈的距離變?yōu)?0米，則需更換的新型節(jié)能燈有（　�。�
A．54盞B．55盞 C．56盞D．57盞
考點(diǎn)：一元一次方程的應(yīng)用。
專題：優(yōu)選方案問題。
分析：可設(shè)需更換的新型節(jié)能燈有x盞，根據(jù)等量關(guān)系：兩種安裝路燈方式的道路總長相等，列出方程求解即可．
解答：解：設(shè)需更換的新型節(jié)能燈有x盞，則
70（x+1）=36×（106+1）
70x=3782，
x≈55
則需更換的新型節(jié)能燈有55盞．
故選B．
點(diǎn)評：本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．注意根據(jù)實(shí)際問題采取進(jìn)1的近似數(shù)．
2. （2011山西，10，2分）“五一”期間，某電器按成本價提高30%后標(biāo)價，再打8折（標(biāo)價的80%）銷售，售價為2080元．設(shè)該電器的成本價為x元，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（ ）
A． B．
C． D．
考點(diǎn)：一元一次方程
專題：一元一次方程
分析：成本價提高30%后標(biāo)價為 ，打8折后的售價為 ．根據(jù)題意，列方程得 ，故選A．
解答：A
點(diǎn)評：找出題中的等量關(guān)系，是列一元一次方程的關(guān)鍵．
3. （2011?柳州）九（3）班的50名同學(xué)進(jìn)行物理、化學(xué)兩種實(shí)驗測試，經(jīng)最后統(tǒng)計知：物理實(shí)驗做對的有40人，化學(xué)實(shí)驗做對的有31人，兩種實(shí)驗都做錯的有4人，則這兩種實(shí)驗都做對的有（　　）
A、17人B、21人
C、25人D、37人
考點(diǎn)：一元一次方程的應(yīng)用。
分析：設(shè)這兩種實(shí)驗都做對的有x人，根據(jù)九（3）班的50名同學(xué)進(jìn)行物理、化學(xué)兩種實(shí)驗測試，經(jīng)最后統(tǒng)計知：物理實(shí)驗做對的有40人，化學(xué)實(shí)驗做對的有31人，兩種實(shí)驗都做錯的有4人可列方程求解．
解答：解：設(shè)這兩種實(shí)驗都做對的有x人，
（40?x）+（31?x）+x+4=50，
x=21．
故都做對的有21人．
故選B．
點(diǎn)評：本題考查理解題意的能力，關(guān)鍵是以人數(shù)做為等量關(guān)系列方程求解．
4. （2011山東濱州，3，3分）某商品原售價289元,經(jīng)過連續(xù)兩次降價后售價為256元,設(shè)平均每次降價的百分率為x,則下面所列方程中正確的是( )
A. B.
C.289(1-2x)=256 D.256(1-2x)=289
【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出一元二次方程．
【專題】增長率問題．
【分析】增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量×（1+增長率），本題可參照增長率問題進(jìn)行計算，如果設(shè)平均每次降價的百分率為x，可以用x表示兩次降價后的售價，然后根據(jù)已知條件列出方程．
【解答】解：根據(jù)題意可得兩次降價后售價為289（1-x）2，
∴方程為289（1-x）2=256．
故選答A．
【點(diǎn)評】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，解決此類兩次變化問題，可利用公式a（1+x）2=c，其中a是變化前的原始量，c是兩次變化后的量，x表示平均每次的增長率．
本題的主要錯誤是有部分學(xué)生沒有仔細(xì)審題，把答題案錯看成B．
5. （2011?山西10，2分）“五一”節(jié)期間，某電器按成本價提高30%后標(biāo)價，再打8折（標(biāo)價的80%）銷售，售價為2080元．設(shè)該電器的成本價為x元，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（　　）
A、x（1+30%）×80%=2080B、x?30%?80%=2080
C、2080×30%×80%=xD、x?30%=2080×80%
考點(diǎn)：由實(shí)際問題抽象出一元一次方程。
分析：設(shè)該電器的成本價為x元，根據(jù)按成本價提高30%后標(biāo)價，再打8折（標(biāo)價的80%）銷售，售價為2080元可列出方程．
解答：解：設(shè)該電器的成本價為x元，
x（1+30%）×80%=2080．
故選A．
點(diǎn)評：本題考查理解題意的能力，以售價作為等量關(guān)系列方程求解．
6.（2011?銅仁地區(qū)4,3分）小明從家里騎自行車到學(xué)校，每小時騎15km，可早到10分鐘，每小時騎12km就會遲到5分鐘．問他家到學(xué)校的路程是多少km？設(shè)他家到學(xué)校的路程是xkm，則據(jù)題意列出的方程是（　�。�
A、 B、
C、 D、
考點(diǎn)：由實(shí)際問題抽象出一元一次方程。
專題：探究型。
分析：先設(shè)他家到學(xué)校的路程是xkm，再把10分鐘、5分鐘化為小時的形式，根據(jù)題意列出方程，選出符合條件的正確選項即可．
解答：解：設(shè)他家到學(xué)校的路程是xkm，
∵10分鐘= 小時5分鐘= 小時，
∴ ．
故選A．
點(diǎn)評：本題考查的是由實(shí)際問題抽象出一元一次方程，解答此題的關(guān)鍵是把10分鐘、5分鐘化為小時的形式，這是此題的易錯點(diǎn)．
7. （2011廣東深圳，6，3分）一件服裝標(biāo)價200元，若以6折銷售，仍可獲利20%，則這件服裝的進(jìn)價是（　　）
A、100元 B、105元 C、108元 D、118元
考點(diǎn)：一元一次方程的應(yīng)用．
專題：方程思想．
分析：根據(jù)題意，找出相等關(guān)系為，進(jìn)價的（1+20%）等于標(biāo)價200元的60%，設(shè)未知數(shù)列方程求解．
解答：解：設(shè)這件服裝的進(jìn)價為x元，依題意得：
（1+20%）x=200×60%，解得：x=100，
故選：A．
點(diǎn)評：此題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找出相等關(guān)系，進(jìn)價的（1+20%）等于標(biāo)價200元的60%．

二、填空題
1. （2011年湖南省湘潭市，13，3分）湘潭歷史悠久，因盛產(chǎn)湘蓮，被譽(yù)為“蓮城”．李紅買了8個蓮蓬，付50元，找回38元，設(shè)每個蓮蓬的價格為x元，根據(jù)題意，列出方程為8x+38=50．
考點(diǎn)：由實(shí)際問題抽象出一元一次方程．
專題：應(yīng)用題．
分析：等量關(guān)系為：買8個蓮蓬的錢數(shù)+38=50，依此列方程求解即可．
解答：解：設(shè)每個蓮蓬的價格為x元，根據(jù)題意得
8x+38=50．
故答案為：8x+38=50．
點(diǎn)評：考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次方程，根據(jù)單價，數(shù)量，總價之間的關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．
2. （2011江蘇鎮(zhèn)江常州，17，3分）把棱長為4的正方體分割成29個棱長為整數(shù)的正方體（且沒有剩余），其中棱長為1的正方體的個數(shù)為　24　．
考點(diǎn)：一元一次方程的應(yīng)用；截一個幾何體．
專題：分類討論；方程思想．
分析：從三種情況進(jìn)行分析：（1）只有棱長為1的正方體；（2）分成棱長為3的正方體和棱長為1的正方體；（3）分成棱長為2的正方體和棱長為1的正方體．
解答：解：棱長為4的正方體的體積為64，
如果只有棱長為1的正方體就是64個不符合題意排除；
如果有一個3×3×3的立方體（體積27），就只能有1×1×1的立方體37個，37+1＞29，不符合題意排除；
所以應(yīng)該是有2×2×2和1×1×1兩種立方體．
則設(shè)棱長為1的有x個，則棱長為2的有（29?x）個，
解方程：x+8×（29?x）=64，
解得：x=24．
所以小明分割的立方體應(yīng)為：棱長為1的24個，棱長為2的5個．
故答案為：24．
點(diǎn)評：本題考查了一元一次方程組的應(yīng)用，立體圖形的求解，解題的關(guān)鍵是分三種情況考慮，得到符合題意的可能，再列方程求解．
3. （2011陜西，14，3分）一商場對某款羊毛衫進(jìn)行換季打折銷售．若這款羊毛衫每件按原銷售價的8折（即按原銷售價的80％）銷售，售價為120元，則這款羊毛衫每件的原銷售價為 元．
考點(diǎn)：一元一次方程的應(yīng)用。
專題：銷售問題；方程思想。
分析：此題的相等關(guān)系為，原價的80%等于銷售價，依次列方程求解．
解答：解：設(shè)這款羊毛衫的原銷售價為x元，依題意得：
80%x=120，
解得：x=150，
故答案為：150元．
點(diǎn)評：此題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是確定相等關(guān)系列方程求解．
4. （2011重慶市，15，4分）某地居民生活用電基本價格為0.50元/度.規(guī)定每月基本用電量為a度,超過部分電量
的?度電價比基本用電量的?度電價增加20%收費(fèi),某用戶在5月份用電100度,共交
電費(fèi)56元,則a = 度.
考點(diǎn)：一元一次方程的應(yīng)用．
分析：根據(jù)題中所給的關(guān)系，找到等量關(guān)系，由于共交電費(fèi)56元，可列出方程求出a．
答案：解：由題意，得
0.5a+（100-a）×0.5×120%=56，
解得a=40．
故答案為：40．
點(diǎn)評：本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．此題的關(guān)鍵是要知道每月用電量超過a度時，電費(fèi)的計算方法為0.5×（1+20%）．
5. （2011黑龍江大慶，15，3分）隨著電子技術(shù)的發(fā)展，手機(jī)價格不斷降低，某品牌手機(jī)按原價降低m元后，又降低20%，此時售價為n元，則該手機(jī)原價為 n+m　元．
考點(diǎn)：一元一次方程的應(yīng)用。
專題：方程思想。
分析：第一次降價后的價格為原價?m，第二次降價后的價格為第一次降價后的價格×（1?降低的百分?jǐn)?shù)），把相關(guān)數(shù)值代入即可．
解答：解：∵第一次降價后的價格為x?m，
∴第二次降價后的價格為（x?m）（1?20%），
∴根據(jù)第二次降價后的價格為n元可列方程為（x?m）（1?20%）=n，
∴x= n+m．故答案為： n+m．
點(diǎn)評：考查列一元一次方程；得到第二次降價后的價格的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
6.（2011黑龍江牡丹江，5，3分）某種商品每件的進(jìn)價為180元，按標(biāo)價的九折銷售時，利潤率為20%，這種商品每件標(biāo)價是　240　元．
考點(diǎn)：一元一次方程的應(yīng)用。
分析：設(shè)這種商品的標(biāo)價是x元，根據(jù)某種商品每件的進(jìn)價為180元，按標(biāo)價的九折銷售時，利潤率為20%可列方程求解．
解答：解：設(shè)這種商品的標(biāo)價是x元，
90%x?180=180×20%
x=240
這種商品的標(biāo)價是240元．
故答案為：240．
點(diǎn)評：本題考查理解題意的能力，關(guān)鍵知道利潤=售價?進(jìn)價，根據(jù)此可列方程求解．

三、解答題
1. （2011四川眉山，24，9分）在眉山市開展城鄉(xiāng)綜合治理的活動中，需要將A、B、C三地的垃圾50立方米、40立方米、50立方米全部運(yùn)往垃圾處理場D、E兩地進(jìn)行處理．已知運(yùn)往D地的數(shù)量比運(yùn)往E地的數(shù)量的2倍少10立方米．
（1）求運(yùn)往兩地的數(shù)量各是多少立方米？
（2）若A地運(yùn)往D地a立方米（a為整數(shù)），B地運(yùn)往D地30立方米，C地運(yùn)往D地的數(shù)量小于A地運(yùn)往D地的2倍．其余全部運(yùn)往E地，且C地運(yùn)往E地不超過12立方米，則A、C兩地運(yùn)往D、E兩地哪幾種方案？
（3）已知從A、B、C三地把垃圾運(yùn)往D、E兩地處理所需費(fèi)用如下表：
A地B地C地
運(yùn)往D地（元/立方米）222020
運(yùn)往E地（元/立方米）202221
在（2）的條件下，請說明哪種方案的總費(fèi)用最少？
考點(diǎn)：一元一次不等式組的應(yīng)用；一元一次方程的應(yīng)用。
專題：優(yōu)選方案問題。
分析：（1）設(shè)運(yùn)往E地x立方米，由題意可列出關(guān)于x的方程，求出x的值即可；
（2）由題意列出關(guān)于a的一元一次不等式組，求出a的取值范圍，再根據(jù)a是整數(shù)可得出a的值，進(jìn)而可求出答案；
（3）根據(jù)（1）中的兩種方案求出其費(fèi)用即可．
解答：解：（1）設(shè)運(yùn)往E地x立方米，由題意得，x+2x?10=140，
解得：x=50，
∴2x?10=90，
答：共運(yùn)往D地90立方米，運(yùn)往E地50立方米；

（2）由題意可得，
，
解得：20＜a≤22，
∵a是整數(shù)，
∴a=21或22，
∴有如下兩種方案：
第一種：A地運(yùn)往D地21立方米，運(yùn)往E地29立方米；
C地運(yùn)往D地39立方米，運(yùn)往E地11立方米；
第二種：A地運(yùn)往D地22立方米，運(yùn)往E地28立方米；
C地運(yùn)往D地38立方米，運(yùn)往E地12立方米；
（3）第一種方案共需費(fèi)用：
22×21+20×29+39×20+11×21=2053（元），
第二種方案共需費(fèi)用：
22×22+28×20+38×20+12×21=2056（元），
所以，第一種方案的總費(fèi)用最少．
點(diǎn)評：本題考查的是一元一次不等式組及一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元一次不等式組及一元一次方程是解答此題的關(guān)鍵．
2. （2011四川省宜賓市，20，7分）某縣為鼓勵失地農(nóng)民自主創(chuàng)業(yè)，在2010年對60位自主創(chuàng)業(yè)的失地農(nóng)民自主創(chuàng)業(yè)的失地農(nóng)民進(jìn)行獎勵，共獎勵10萬元.獎勵標(biāo)準(zhǔn)是：失地農(nóng)民自主創(chuàng)業(yè)連續(xù)經(jīng)營一年以上的給予1000元獎勵；自主創(chuàng)業(yè)且解決5人以上失業(yè)人員穩(wěn)定就業(yè)一年以上的，再給予2000元獎勵.問：該縣失地農(nóng)民中自主創(chuàng)業(yè)連續(xù)經(jīng)營一年以上的和自主創(chuàng)業(yè)且解決5人以上失業(yè)人員穩(wěn)定就業(yè)一年以上的農(nóng)民分別有多少人？
考點(diǎn)：二元一次方程組的應(yīng)用；一元一次方程的應(yīng)用．
分析：設(shè)失地農(nóng)民自主創(chuàng)業(yè)連續(xù)經(jīng)營一年以上的有x人，根據(jù)失地農(nóng)民自主創(chuàng)業(yè)連續(xù)經(jīng)營一年以上的給予1000元獎勵：自主創(chuàng)業(yè)且解決5人以上失業(yè)人員穩(wěn)定就業(yè)一年以上的，再給予2000元獎勵，可列方程組求解．
答案：20．解：方法一
設(shè)失地農(nóng)民中自主創(chuàng)業(yè)連續(xù)經(jīng)營一年以上的有x人，則根據(jù)題意列出方程
1000x+(60?x)(1000+2000)=100000
解得：x = 40
∴60 ? x =60 ? 40 = 20
答：失地農(nóng)民中自主創(chuàng)業(yè)連續(xù)經(jīng)營一年以上的有40，自主創(chuàng)業(yè)且解決5人以上失業(yè)人員穩(wěn)定就業(yè)一年以上的農(nóng)民有20人.
方法二
設(shè)失地農(nóng)民中自主創(chuàng)業(yè)連續(xù)經(jīng)營一年以上的和自主創(chuàng)業(yè)且解決5人以上失業(yè)人員穩(wěn)定就業(yè)一年以上的農(nóng)民有分別有x，y人，根據(jù)題意列出方程組：

x+y=601000x+(1000+2000)y=100000
解之得：x=40y=20
答：失地農(nóng)民中自主創(chuàng)業(yè)連續(xù)經(jīng)營一年以上的有40，自主創(chuàng)業(yè)且解決5人以上失業(yè)人員穩(wěn)定就業(yè)一年以上的農(nóng)民有20人.
點(diǎn)評：本題考查理解題意的能力，關(guān)鍵是找到人數(shù)和錢數(shù)做為等量關(guān)系，根據(jù)失地農(nóng)民自主創(chuàng)業(yè)連續(xù)經(jīng)營一年以上的給予1000元獎勵：自主創(chuàng)業(yè)且解決5人以上失業(yè)人員穩(wěn)定就業(yè)一年以上的，再給予2000元獎勵列方程求解．
3. （2011黑龍江省哈爾濱,26，8分）義潔中學(xué)計劃從榮威公司購買A、B兩種型號的小黑板，經(jīng)洽談，購買一塊A型小黑板比買一塊B型小黑板多用20元．且購買5塊A型小黑板和4塊B型小黑板共需820元．
（1）求購買一塊A型小黑板、一塊B型小黑板各需要多少元？
（2）根據(jù)義潔中學(xué)實(shí)際情況，需從榮威公司購買A、B兩種型號的小黑板共60塊，要求購買A、B兩種型號小黑板的總費(fèi)用不超過5240元．并且購買A型小黑板的數(shù)量應(yīng)大于購買A、B種型號小黑板總數(shù)量的 ．請你通過計算，求出義潔中學(xué)從榮威公司購買A、B兩種型號的小黑板有哪幾種方案？
考點(diǎn)：一元一次不等式組的應(yīng)用；一元一次方程的應(yīng)用。
分析：（1）設(shè)購買一塊A型小黑板需要x元，一塊B型為（x?20）元，根據(jù)，購買一塊A型小黑板比買一塊B型小黑板多用20元．且購買5塊A型小黑板和4塊B型小黑板共需820元可列方程求解．
（2）設(shè)購買A型小黑板m塊，則購買B型小黑板（60?m）塊，根據(jù)需從榮威公司購買A、B兩種型號的小黑板共60塊，要求購買A、B兩種型號小黑板的總費(fèi)用不超過5240元．并且購買A型小黑板的數(shù)量應(yīng)大于購買A、B種型號小黑板總數(shù)量的 ，可列不等式組求解．
解答：解：（1）設(shè)購買一塊A型小黑板需要x元，
5x+4（x?20）=820，
x=100，
x?20=80，
購買A型100元，B型80元；

（2）設(shè)購買A型小黑板m塊， ，
m為整數(shù)，所以m為21或22．
當(dāng)m=21時，60?m=39；
當(dāng)m=22時，60?m=38．
所以有兩種購買方案：方案一購買A21塊，B 39塊、
方案二 購買A22塊，B38塊．
點(diǎn)評：本題考查理解題意的能力，關(guān)鍵根據(jù)購買黑板塊數(shù)不同錢數(shù)的不同求出購買黑板的錢數(shù)，然后要求購買A、B兩種型號小黑板的總費(fèi)用不超過5240元．并且購買A型小黑板的數(shù)量應(yīng)大于購買A、B種型號小黑板總數(shù)量的 ，列出不等式組求解．

綜合驗收評估測試題
一、選擇題
1. 下列方程是一元一次方程的是( )
A． ＝1 B．3x＋2y＝0 C．x 2－l＝0 D．x＝3
2. 方程 去分母，得( )
A．2－2(2x－4)＝－( x－7) B．12－2(2 x－4)＝－x－7
C．12－2(2 x－4)＝－( x－7) D．12－(2 x－4)＝－( x－7)
3. 已知x＝－2是關(guān)于x的方程2 x＋m－4＝0的解，則m的值是( )
A．8 B．－8 C．0 D．2
4. 如果7a－5與3－5a互為相反數(shù)，則a的值為( )
A．0 B．1 C．－l D．2
5. 甲、乙兩超市為了促銷一定價相同的商品，甲超市連續(xù)兩次降價10％，乙超市一次性降價20％，在( )超市購買這種商品合算．
A．甲 B．乙 C同樣 D．與商品價格有關(guān)
二、填空題
6. 關(guān)于x的方程xn＋2－n－3＝0是一元一次方程，則此方程的解是 ．
7. 關(guān)于x的方程(k＋2) x－1＝0的解為x＝1，則k的值是 ．
8. 三個連續(xù)偶數(shù)的和為60，那么其中最大的一個是 .
9. 若9人14天完成了一項工作的 ，而剩下的工作要在4天內(nèi)完成，則需要增加的人數(shù)是 ．
10. 足球比賽的得分規(guī)則為勝一場得3分，平一場得1分，負(fù)一場得0分．一支青年足球隊參加了14場比賽，其中負(fù)5場，共得19分，那么這支足球隊勝了 場．
三、解答題
11. 解方程： ．
12. 李老師這個月要參加3天培訓(xùn)，這3天恰好在日歷的一豎排上且3個數(shù)字相連，并且這3個日子的數(shù)字之和是36，你知道李老師要在哪幾天參加培訓(xùn)嗎?


答案
1. D
2. C 解析：方程兩邊的各項都要乘最小公分母6，且要注意分?jǐn)?shù)線起到括號的作用．
3. A 解析：將x＝－2代入原方程得到關(guān)于m的一元一次方程，解此方程即可求得m的值．
4. B 解析：根據(jù)互為相反數(shù)的兩數(shù)之和為零列出方程，解方程即可得到a的值．
5. B 解析：可設(shè)相同商品的原定價為a元，甲連續(xù)兩次降階10％后的價格為a (1－10％) (1－10％)＝0．8la(元)，而乙一次性降價20％后的價格為a (1－20％)＝0．8a (元)．故在乙超市購買這種商品合算．
6. x=2 解析：由原方程為一元一次方程可得n＋2＝1，∴＝－1．將n＝－1代入原方程解得x＝2．
7. －1
8. 22 解析：注意連續(xù)偶數(shù)之間的差為2．
9. 12 解析：可把總工作量看作整體1，則每人每天的工作效率為 ÷9÷14．設(shè)增加人數(shù)為x，根據(jù)題意，得 ．解得x＝12．
10. 5 解析：本題的相等關(guān)系是：勝場積分＋平場積分＝19分．
設(shè)這支球隊共勝了x場，則平了(14－5－x)場．
根據(jù)題意，得3x＋(14－5－x)＝19，解得x＝5．
11. 解：去分母，得9x－3(2－18x)＝x ＋18．去括號，得9 x－6＋54 x＝x ＋18．
移項，得9 x＋54 x－ x＝18＋6．合并同類項，得62 x=24．
系數(shù)化為1，得x＝ ．
12. 解：設(shè)這3天的日期分別為x－7，x，x＋7．
(x－7)＋ x＋(x＋7)＝36，x=12．∴x－7=5，x＋7＝19．
答：李老師培訓(xùn)的日子是5號，12號，19號．

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