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第八章 二元一次方程組
本章小結(jié)
小結(jié)1 本章概述
二元一次方程組是從實(shí)際生活中抽象出來的數(shù)學(xué)模型，它是解決實(shí)際問題的有效途徑，更是今后學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ).它是在一元一次方程的基礎(chǔ)上來進(jìn)一步研究末知量之問的關(guān)系的，教材通過實(shí)例引入方程組的概念，同時(shí)引入方程組解的概念，并探索二元一次方程組的解法，具體研究二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用．
小結(jié)2 本章學(xué)習(xí)重難點(diǎn)
【本章重點(diǎn)】會(huì)解二元一次方程組，能夠根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程組．
【本章難點(diǎn)】列方程組解應(yīng)用性的實(shí)際問題．
【學(xué)習(xí)本章應(yīng)注意的問題】
在復(fù)習(xí)解一元一次方程時(shí)，明確一元一次方程化簡變形的原理，類比學(xué)習(xí)二元一次方程組、三元一次方程組的解法，同時(shí)在學(xué)習(xí)二元一次方程組、三元一次方程組的解法時(shí)，要認(rèn)真體會(huì)消元轉(zhuǎn)化的思想原理，在學(xué)習(xí)用方程組解決突際問題時(shí)，要積極探究，多多思考，正確設(shè)未知數(shù)，列出恰當(dāng)?shù)姆匠探M，從而解決實(shí)際問題．
小結(jié)3 中考透視
在考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本能力的題目中，單獨(dú)知識(shí)點(diǎn)考查類題目及多知識(shí)點(diǎn)綜合考查類題目經(jīng)常出現(xiàn)，在實(shí)際應(yīng)用題及開放題中大量出現(xiàn)．所以在學(xué)習(xí)本章內(nèi)容的過程中一定要結(jié)合其他相應(yīng)的知識(shí)與方法，本章是中考的重要考點(diǎn)之一，圍繞簡單的二元一次方程組的解法命題，能根據(jù)具體問題的數(shù)量關(guān)系列出二元一次方程組，體會(huì)方程是描述現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效模型，并根據(jù)具體問題的實(shí)際意義用觀察、體驗(yàn)等手段檢驗(yàn)結(jié)果是否合理．考試題型以選擇題、填空題、應(yīng)用題、開放題以及綜合題為主，高、中、低檔難度的題目均有出現(xiàn)，占4～7分．

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

專題總結(jié)及應(yīng)用
一、知識(shí)性專題
專題1 運(yùn)用某些概念列方程求解
【專題解讀】在學(xué)習(xí)過程中，我們常常會(huì)遇到二元一次方程的未知數(shù)的指數(shù)是一個(gè)字母或關(guān)于字母的代數(shù)式，讓我們求字母的值，這時(shí)巧用定義，可簡便地解決這類問題

例1 若 =0,是關(guān)于x,y的二元一次方程,則a=_______,b=_______.

分析 依題意,得 解得

答案:
【解題策略】準(zhǔn)確地掌握二元一次方程的定義是解此題的關(guān)鍵.
專題2 列方程組解決實(shí)際問題
【專題解讀】方程組是描述現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型,在日常生活、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、城市規(guī)劃及國防領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，列二元一次方程組的關(guān)鍵是尋找相等關(guān)系，尋找相等關(guān)系應(yīng)以下兩方面入手；（1）仔細(xì)審題，尋找關(guān)鍵詞語；（2）采用畫圖、列表等方法挖掘相等關(guān)系.
例2 一項(xiàng)工程甲單獨(dú)做需12天完成，乙單獨(dú)做需18天完成，計(jì)劃甲先做若干后離去，再由乙完成，實(shí)際上甲只做了計(jì)劃時(shí)間的一半因事離去，然后由乙單獨(dú)承擔(dān)，而乙完成任務(wù)的時(shí)間恰好是計(jì)劃時(shí)間的2倍，則原計(jì)劃甲、乙各做多少天？
分析 由甲、乙單獨(dú)完成所需的時(shí)間可以看出甲、乙兩人的工作效率，設(shè)總工作量為1，則甲每天完成 ，乙每天完成 .

解：設(shè)原計(jì)劃甲做x天，乙做y天，則有


解這個(gè)方程組，得

答：原計(jì)劃甲做8天，乙做6天.
【解題策略】若總工作量沒有具體給出，可以設(shè)總工作量為單位“1”，然后由時(shí)間算出工作效率，最后利用“工作量=工作效率×工作時(shí)間”列出方程.
二、規(guī)律方法專題
專題3 反復(fù)運(yùn)用加減法解方程組
【專題解讀】反復(fù)運(yùn)用加減法可使系數(shù)較大的方程組轉(zhuǎn)化成系數(shù)較小的方程組，達(dá)到簡化計(jì)算的目的.
例3 解方程組

分析 當(dāng)方程組中未知數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)較大時(shí),注意觀察其特點(diǎn),不要盲目地利用加減法或代入法進(jìn)行消元,可利用反復(fù)相加或相減得到系數(shù)較小的方程組,再求解.
解:由①-②,得x-y=1,③
由①+②,得x+y=5,④

將③④聯(lián)立,得


解得 即原方程組的解為


【解題策略】此方程組屬于 型,其中 - =ka-b, + =ma+b,k,m為整數(shù).因此這樣的方程組通過相加和相減可得到 型方程組,顯然后一個(gè)方程組容易求解.
專題4 整體代入法解方程組
【專題解讀】結(jié)合方程組的形式加以分析,對(duì)于用一般代入法和加減法求解比較繁瑣的方程組,靈活靈用整體代入法解題更加簡單.


例4 解方程組


分析 此方程組中,每個(gè)方程都缺少一個(gè)未知數(shù),且所缺少的未知數(shù)又都不相同,每個(gè)未知數(shù)的系數(shù)都是1,這樣的方程組若一一消元很麻煩,可考慮整體相加、整體代入的方法.
解:①+②+③+④,得3(x+y+z+m)=51,
即x+y+z+m=17,⑤
⑤-①,得m=9,⑤-②,得z=5.
⑤-③,得y=3,⑤-④,得x=0.

所以原方程組的解為


專題5 巧解連比型多元方程組
【專題解讀】連比型多元方程組通常采用設(shè)輔助未知數(shù)的方法來求解.

例5 解方程組


解:設(shè) ,
則x+y=2k,t+x=3k,y+t=4k,
三式相加,得x+y+t= ,
將x+y+t= 代入②,得 =27,


所以k=6,所以

②-⑤,得x=3,②-④,得y=9,②-③,得t=15.

所以原方程組的解為


三、思想方法專題
專題6 轉(zhuǎn)化思想
【專題解讀】對(duì)于直接解答有難度或較陌生的題型，可以根據(jù)條件，將其轉(zhuǎn)化成易于解答或比較常見的題型.
例6 二元一次方程x+y=7的非負(fù)整數(shù)解有 ( )
A.6個(gè)
B.7個(gè)
C.8個(gè)
D.無數(shù)個(gè)
分析 將原方程化為y=7-x,因?yàn)槭欠秦?fù)整數(shù)解,所以x只能取0,1,2,3,4,5,6,7,與之對(duì)應(yīng)的y為7,6,5,4,3,2,1,0,所以共有8個(gè)非負(fù)整數(shù)解.故選C.
【解題策略】對(duì)二元一次方程求解時(shí),往往需要用含有一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出另一個(gè)未知數(shù),從而將求方程的解的問題轉(zhuǎn)化為求代數(shù)式的值的問題.
專題7 消元思想
【專題解讀】 將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少,逐一解決的思想即為消元思想.

例7 解方程組

分析 解三元一次方程組可類比解二元一次方程組的代入法和加減法,關(guān)鍵是“消元”，把“三元”變?yōu)椤岸�元”，再化“二元”為“一元”，進(jìn)而求解.
解法1:由③得z=2x+2y-3.④
把④代入①,得3x+4y+2x+2y-3=14,
即5x+6y=17.⑤
把④代入②,得x+5y+2(2x+2y-3)=17,
即5x+9y=23.⑥
由⑤⑥組成二元一次方程組 解得

把x=1,y=2代入④,得z=3.

所以原方程組的解為


解法2:由①+③,得5x+6y=17.⑦
由②+③×2,得5x+9y=23.⑧

同解法1可求得原方程組的解為

解法3:由②+③-①,得3y=6,所以y=2.

把y=2分別代入①和③,得 解得


所以原方程組的解為

【解題策略】消元是解方程組的基本思想,是將復(fù)雜問題簡單化的一種化歸思想,其目的

是將多元的方程組逐步轉(zhuǎn)化為一元的方程,即三元 二元 一元.


2011中考真題精選
1. （2011四川涼山，3，4分）下列方程組中是二元一次方程組的是（ ）
A． B． C． D．
考點(diǎn)：二元一次方程組的定義．
分析：組成二元一次方程組的兩個(gè)方程應(yīng)共含有兩個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的項(xiàng)最高次數(shù)都應(yīng)是一次的整式方程．
解答：解：A、第一個(gè)方程值的xy是二次的，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、第二個(gè)方程有 ，不是整式方程，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、含有3個(gè)未知數(shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、符合二元一次方程定義，故此選項(xiàng)正確．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二元一次方程的定義，一定要緊扣二元一次方程組的定義“由兩個(gè)二元一次方程組成的方程組”，細(xì)心觀察排除，得出正確答案．
2. 下列方程組中是二元一次方程組的是（ ）
A． B． C． D．
考點(diǎn)：二元一次方程組的定義．
分析：組成二元一次方程組的兩個(gè)方程應(yīng)共含有兩個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的項(xiàng)最高次數(shù)都應(yīng)是一次的整式方程．
解答：解：A、第一個(gè)方程值的xy是二次的，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、第二個(gè)方程有 ，不是整式方程，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、含有3個(gè)未知數(shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、符合二元一次方程定義，故此選項(xiàng)正確．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二元一次方程的定義，一定要緊扣二元一次方程組的定義“由兩個(gè)二元一次方程組成的方程組”，細(xì)心觀察排除，得出正確答案．
3. （2011河北，19，8分）已知 是關(guān)于x，y的二元一次方程 的解，求（a＋1）（a－1）＋7的值．
考點(diǎn)：二次根式的混合運(yùn)算；二元一次方程的解。
專題：計(jì)算題。
分析：根據(jù)已知 是關(guān)于x，y的二元一次方程 的解，代入方程即可得出a的值，再利用二次根式的運(yùn)算性質(zhì)求出．
解答：解：∵ 是關(guān)于x，y的二元一次方程 的解，
∴2 ＝ ＋a，
a＝ ，
∴（a＋1）（a－1）＋7＝a2－1＋7＝3－1＋7＝9．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算以及二元一次方程的解，根據(jù)題意得出a的值是解決問題的關(guān)鍵．
4. （2011湖南益陽,2,4分）二元一次方程x?2y=1有無數(shù)多個(gè)解，下列四組值中不是該方程的解的是（　　）
A． B．
C． D．
考點(diǎn)：二元一次方程的解．
專題：計(jì)算題．
分析：將x．y的值分別代入x?2y中，看結(jié)果是否等于1，判斷x．y的值是否為方程x?2y=1的解．
解答：解：A．當(dāng)x=0，y=? 時(shí)，x?2y=0?2×（? ）=1，是方程的解；
B．當(dāng)x=1，y=1時(shí)，x?2y=1?2×1=?1，不是方程的解；
C．當(dāng)x=1，y=0時(shí)，x?2y=1?2×0=1，是方程的解；
D．當(dāng)x=?1，y=?1時(shí)，x?2y=?1?2×（?1）=1，是方程的解；
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二元一次方程的解的定義，要求理解什么是二元一次方程的解，并會(huì)把x，y的值代入原方程驗(yàn)證二元一次方程的解．
5. （2011廣東肇慶，4，3分）方程組 的解是（　�。�
A、 B、 C、 D、
考點(diǎn)：解二元一次方程組。
專題：計(jì)算題。
分析：此題運(yùn)用加減消元法解方程組，由①+②先求出x，再代入求出y．
解答：解： ，
①+②得：
3x=6，
x=2，
把x=2代入①得：
y=0，
∴ ，
故選：D．
點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是接二元一次方程組，關(guān)鍵是先用加減消元法求出x．
（2011?寧夏，4，3分）一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和是8，把這個(gè)兩位數(shù)加上18，結(jié)果恰好成為數(shù)字對(duì)調(diào)后組成的兩位數(shù)，求這個(gè)兩位數(shù)．設(shè)個(gè)位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，所列方程組正確的是（　�。�
A、 B、
C、 D、
考點(diǎn)：由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組。
專題：數(shù)字問題。
分析：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，則兩位數(shù)可表示為10y+x，對(duì)調(diào)后的兩位數(shù)為10x+y，根據(jù)題中的兩個(gè)數(shù)字之和為8及對(duì)調(diào)后的等量關(guān)系可列出方程組，求解即可．
解答：解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，根據(jù)題意得：

故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了關(guān)于數(shù)字問題的二元一次方程組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題意，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組，再求解．
（2011?臺(tái)灣9，4分）在早餐店里，王伯伯買5顆饅頭，3顆包子，老板少拿2元，只要50元．李太太買了11顆饅頭，5顆包子，老板以售價(jià)的九折優(yōu)待，只要90元．若饅頭每顆x元，包子每顆y元，則下列哪一個(gè)二元一次聯(lián)立方程式可表示題目中的數(shù)量關(guān)系（　�。�
A、 B、
C、 D、
考點(diǎn)：由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組。
專題：應(yīng)用題。
分析：設(shè)饅頭每顆x元，包子每顆y元，根據(jù)題意王伯伯買5顆饅頭，3顆包子，老板少拿2元，只要50元，可列式為5x+3y=52，李太太買了11顆饅頭，5顆包子，老板以售價(jià)的九折優(yōu)待，只要90元，可列式為0.9（11x+5y）=90，聯(lián)立方程即可得到所求方程組．
解答：解：設(shè)饅頭每顆x元，包子每顆y元，
伯伯買5顆饅頭，3顆包子，老板少拿2元，只要50元，可列式為5x+3y=50+2，
李太太買了11顆饅頭，5顆包子，老板以售價(jià)的九折優(yōu)待，只要90元，
可列式為0.9（11x+5y）=90，
故可列方程組為 ，
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由實(shí)際問題抽象出的二元一次方程組的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是理解題意，找出題干中的等量關(guān)系，列出等式，本題難度一般．
（2011臺(tái)灣，30，4分）某鞋店有甲．乙兩款鞋各30雙，甲鞋一雙200元，乙鞋一雙50元．該店促銷的方式：買一雙甲鞋，送一雙乙鞋；只買乙鞋沒有任何優(yōu)惠．若打烊后得知，此兩款鞋共賣得1800元，還剩甲鞋x雙．乙鞋y雙，則依題意可列出下列哪一個(gè)方程式？（　�。�
A．200（30－x）＋50（30－y）＝1800B．200（30－x）＋50（30－x－y）＝1800
C．200（30－x）＋50（60－x－y）＝1800D．200（30－x）＋50[30－（30－x）－y]＝1800
考點(diǎn)：二元一次方程的應(yīng)用。
專題：方程思想。
分析：由已知，賣出甲鞋（30－x）雙，則送出乙鞋也是（30－x）雙，那么乙賣出[30－（30－x）－y]雙，賣出甲鞋的錢數(shù)加上賣出乙鞋的錢數(shù)就等于1800元，由此得出答案．
解答：解：已知還剩甲鞋x雙，則則賣出甲鞋的錢數(shù)為：200（30－x）元，
由題意則送出乙鞋：（30－x）雙，
那么賣出乙鞋的錢數(shù)為505[30－（30－x）－y]元，
所以列方程式為：200（30－x）＋50[30－（30－x）－y]＝1800．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分別表示出賣出甲鞋和乙鞋的錢數(shù)．
（2011臺(tái)灣，31，4分）如圖，將長方形ABCD分割成1個(gè)灰色長方形與148個(gè)面積相等的小正方形．若灰色長方形之長與寬的比為5：3，則AD：AB＝？（　�。�

A．5：3B．7：5 C．23：14D．47：29
考點(diǎn)：二元一次方程組的應(yīng)用。
專題：計(jì)算題。
分析：可設(shè)灰色長方形的長是5x，寬是3x，因?yàn)閷㈤L方形ABCD分割成1個(gè)灰色長方形與148個(gè)面積相等的小正方形，可表示出灰色長方形的長和寬，進(jìn)而求出大長方形的長和寬，從而可求解．
解答：解：設(shè)灰色長方形的長是5x，寬是3x，
2（5x＋3x）＋4＝148
x＝9
5x＝45，3x＝27，
AD＝45＋2＝47，
AB＝27＋2＝29，
．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查理解題意能力，關(guān)鍵是看到灰色長方形的周長和148個(gè)小正方形的關(guān)系，以及灰色長方形的邊長和大長方形的邊長的關(guān)系．
（2011新疆烏魯木齊，4，4）甲倉庫乙倉庫共存糧450噸，現(xiàn)從甲倉庫運(yùn)出存糧的60%，從乙倉庫運(yùn)出存糧的40%．結(jié)果乙倉庫所余的糧食比甲倉庫所余的糧食多30噸．若設(shè)甲倉庫原來存糧x噸，乙倉庫原來存糧y噸，則有（　�。�
A、 B、
C、 D、
考點(diǎn)：二元一次方程組的應(yīng)用。
專題：應(yīng)用題。
分析：要求甲，乙倉庫原來存糧分別為多少，就要先設(shè)出未知數(shù)，找出題中的等量關(guān)系列方程求解．題中的等量關(guān)系為：從甲倉庫運(yùn)出存糧的60%，從乙倉庫運(yùn)出存糧的40%．結(jié)果乙倉庫所余的糧食比甲倉庫所余的糧食30噸，和甲倉庫乙倉庫共存糧450噸．
解答：解：設(shè)甲倉庫原來存糧x噸，乙倉庫原來存糧y噸．
根據(jù)題意得： ．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題干找出合適的等量關(guān)系．
本題的等量關(guān)系是：從甲倉庫運(yùn)出存糧的60%，從乙倉庫運(yùn)出存糧的40%．結(jié)果乙倉庫所余的糧食比甲倉庫所余的糧食30噸，和甲倉庫乙倉庫共存糧450噸．列出方程組，再求解．

（2011?柳州）把方程2x+y=3改寫成用含x的式子表示y的形式，得y=　3?2x�。�
考點(diǎn)：解二元一次方程。
專題：計(jì)算題。
分析：本題是將二元一次方程變形，用一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)，可先移項(xiàng)，再系數(shù)化為1即可．
解答：解：把方程2x+y=3移項(xiàng)得：
y=3?2x，
故答案為：y=3?2x．
點(diǎn)評(píng)：此題考查的是方程的基本運(yùn)算技能，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1等，然后合并同類項(xiàng)，系數(shù)化1就可用含x的式子表示y
（2011湖南長沙，6，3分）若 是關(guān)于 的二元一次方程 的解，則 的值為（ ）
A． B． C．2 D．7
考點(diǎn)：一元一次方程 二元一次方程組的解
專題：二元一次方程
分析：將 代入方程ax－3y＝1，得a－6＝1，解得a＝7，故選D．
解答：D
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二元一次方程組的解的意義與解一元一次方程知識(shí)，將x、y的值代入原一元一次方程，即可求出待定系數(shù)的值．
（2011湖南長沙，23，9分）某工程隊(duì)承包了某標(biāo)段全長1755米的過江隧道施工任務(wù)，甲、乙兩個(gè)班組分別從東、西兩端同時(shí)掘進(jìn)．已知甲組比乙組平均每天多掘進(jìn)0.6米，經(jīng)過5天施工，兩組共掘進(jìn)了45米．
（1）求甲、乙兩個(gè)班組平均每天各掘進(jìn)多少米?
（2）為加快工程進(jìn)度，通過改進(jìn)施工技術(shù)，在剩余的工程中，甲組平均每天能比原來多掘進(jìn)0.2米，乙組平均每天能比原來多掘進(jìn)0.3米．按此施工速度，能夠比原來少用多少天完成任務(wù)?
考點(diǎn)：二元一次方程組的應(yīng)用
專題：二元一次方程組
分析：（1）本題的兩個(gè)數(shù)量關(guān)系是：①甲組工作量＝乙組工作量＋0.6；②甲、乙兩組的工作量之和×5＝45．為此，設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，列二元一次方程組即可求解．
（2）求出剩余的工作量，用兩種工作效率去工作時(shí)的工作時(shí)間，兩者相減即可．
解答：（1）設(shè)甲、乙班組平均每天掘進(jìn)x米，y米，根據(jù)題意，得 ，
解得
∴甲班組平均每天掘進(jìn)4.8米，乙班組平均每天掘進(jìn)4.2米．
（2）設(shè)按原來的施工進(jìn)度和改進(jìn)施工技術(shù)后的進(jìn)度分別還需a天，b完成任務(wù)，則
a＝（1755－45）÷（4.8＋4.2）＝190（天）；b＝（1755－45）÷（4.8＋4.2＋0.2＋0.3）＝180（天），∴a－b＝10（天）
答：按此施工速度，能夠比原來少用少用10天完成任務(wù)．
點(diǎn)評(píng)：列方程（組）或不等式（組）解應(yīng)用題是中考的必考內(nèi)容之一，關(guān)鍵是能夠找出題中蘊(yùn)含的等量（或不等）關(guān)系式，然后布列方程（組）或不等式（組），通過解方程（組）或不等式（組），來解決實(shí)際問題．
本題中的第二個(gè)問題，利用剩余工作量用兩種合效率去做，求其工作時(shí)間差即可求解，這種方法較為簡潔．
（2011?株洲19，）食品安全是老百姓關(guān)注的話題，在食品中添加過量的添加劑對(duì)人體有害，但適量的添加劑對(duì)人體無害且有利于食品的儲(chǔ)存和運(yùn)輸．某飲料加工廠生產(chǎn)的A、B兩種飲料均需加入同種添加劑，A飲料每瓶需加該添加劑2克，B飲料每瓶需加該添加劑3克，已知270克該添加劑恰好生產(chǎn)了A、B兩種飲料共100瓶，問A、B兩種飲料各生產(chǎn)了多少瓶？

考點(diǎn)：二元一次方程組的應(yīng)用；一元一次方程的應(yīng)用。
專題：工程問題。
分析：本題需先根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，再根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出方程組，求出結(jié)果即可．
解答：解：設(shè)A飲料生產(chǎn)了x瓶，B飲料生產(chǎn)了y瓶，依題意得：

解得：
答：A飲料生產(chǎn)了30瓶，B飲料生產(chǎn)了70瓶
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，在解題時(shí)要能根據(jù)題意得出等量關(guān)系，列出方程組是本題的關(guān)鍵．
（2011吉林長春，17，5分）在長為10m，寬為8m的矩形空地中，沿平行于矩形各邊的方向分割出三個(gè)全等的小矩形花圃，其示意圖如圖所示．求小矩形花圃的長和寬．

考點(diǎn)：二元一次方程組的應(yīng)用．
分析：由圖形可看出：小矩形的2個(gè)長+一個(gè)寬=10cm，小矩形的2個(gè)寬+一個(gè)長=8cm，設(shè)出長和寬，列出方程組即可得答案．
解答：解：設(shè)小矩形的長為xcm，寬為ycm，由題意得：
，
解得： ．
答：小矩形的長為4cm，寬為2cm．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，做題的關(guān)鍵是：弄懂題意，找出等量關(guān)系，列出方程組
（2011湖南衡陽，22，8分）李大叔去年承包了10畝地種植甲、乙兩種蔬菜，共獲利18000元，其中甲種蔬菜每畝獲利2000元，乙種蔬菜每畝獲利1500元，李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了多少畝？
考點(diǎn)：二元一次方程組的應(yīng)用。
專題：應(yīng)用題；方程思想。
分析：由題意得出兩個(gè)相等關(guān)系為：甲、乙兩種蔬菜共10畝和共獲利18000元，依次列方程組求解．
解答：解：設(shè)甲、乙兩種蔬菜各種植了x、y畝，依題意得：

解得： ，
答：李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了6畝、4畝．
點(diǎn)評(píng)：此題考查的是二元一次方程組的應(yīng)用，關(guān)鍵是確定兩個(gè)相等關(guān)系列方程組求解．
（2011廣東湛江,26,12分）某工廠計(jì)劃生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品共10件，其生產(chǎn)成本和利潤如下表：
A種產(chǎn)品B種產(chǎn)品
成本（萬元?件）35
利潤（萬元?件）12
（1）若工廠計(jì)劃獲利14萬元，問A，B兩種產(chǎn)品應(yīng)分別生產(chǎn)多少件？
（2）若工廠投入資金不多于44萬元，且獲利多于14萬元，問工廠有哪幾種生產(chǎn)方案？
（3）在（2）條件下，哪種方案獲利最大？并求最大利潤．
考點(diǎn)：一元一次不等式組的應(yīng)用；二元一次方程組的應(yīng)用．
分析：（1）設(shè)A種產(chǎn)品x件，B種為（10-x）件，根據(jù)共獲利14萬元，列方程求解．
（2）設(shè)A種產(chǎn)品x件，B種為（10-x）件，根據(jù)若工廠投入資金不多于44萬元，且獲利多于14萬元，列不等式組求解．
（3）從利潤可看出B越多獲利越大．
解答：解：（1）設(shè)A種產(chǎn)品x件，B種為（10-x）件，
x+2（10-x）=14，x=6，
A生產(chǎn)6件，B生產(chǎn)4件；
（2）設(shè)A種產(chǎn)品x件，B種為（10-x）件，
，3≤x＜6．
方案一：A 3件 B生產(chǎn)7件．
方案二：A生產(chǎn)4件，B生產(chǎn)6件．
方案三：A生產(chǎn)5件，B生產(chǎn)5件；
（3）第一種方案獲利最大，
3×1+7×2=17．
最大利潤是17萬元．
點(diǎn)評(píng)：本題考查理解題意的能力，關(guān)鍵從表格種獲得成本價(jià)和利潤，然后根據(jù)利潤這個(gè)等量關(guān)系列方程，根據(jù)第二問中的利潤和成本做為不等量關(guān)系列不等式組分別求出解，然后求出那種方案獲利最大從而求出來．


綜合驗(yàn)收評(píng)估測(cè)試題
(時(shí)間：120分鐘 滿分：120分)
一、選擇題
1．下列方程中，屬于二元一次方程的是 （ ）
A．x+y-1=0
B．xy+5=-4
C．3 +y=89
D．x+ =2
2.方程3x-4y=10的一個(gè)解是 （ ）

A． B． C． D．


3.下列方程中，與方程3x+2y=5所組成的方程組的解是 的是 （ ）
A．x-3y=4
B．4x+3y=4
C．y+x=1
D．4x-3y=2
4.若關(guān)于x,y的方程組 的解是 則m-n的值為 （ ）
A．1
B．3
C．5
D．2
5．若關(guān)于x,y的二元一次方程組 的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，則k的值為 （ ）
A．-
B．
C．
D．-
6．若 ，則 （ ）
A． B． C． D．

7．已知-0.5 與 是同類項(xiàng)，那么 （ ）
A． B． C． D．

8.如果一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之和是6，那么這樣的正整數(shù)有 （ ）
A．4個(gè)
B．5個(gè)
C．6個(gè)
D．7個(gè)
9.某年級(jí)學(xué)生有246人,男生人數(shù)比女生人數(shù)的2倍少2人,求男生、女生各有多少人.若設(shè)男生有x人，女生有y人，則可列方程組 （ ）

A． B． C． D．

10.6年前，A的年齡是B的年齡的3倍，現(xiàn)在A的年齡是B的年齡的2倍，則A現(xiàn)在的年齡是 （ ）
A．12歲
B．18歲
C．24歲
D．30歲
二、填空題
11.在3x-2y=5中,若y=-2,則x=_______.
12.由4x-3y+6=0,可以得到用y表示x的式子為_______.

13.若 是方程3mx-2y-1=0的解,則m=________.

14.已知 是二元一次方程組 的解，則a-b的值為______.

15.若 ，則3x+4y=_______.

16.若 則x,y之間的關(guān)系式為________.

17.已知方程組 的解是關(guān)于x,y的方程組 的解，則m=___,n=___.


18.若 則x：y：z=_________.

19.已知 (x,y,z≠0)，則 的值為_______.
20.如圖8-5所示，兩根鐵棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的長度是它的 ，另一根露出水面的長度是它的 .兩根鐵棒長度之和為55 cm，此時(shí)木桶中水的深度是________cm.
三、解答題
21．已知ax+by=16的兩個(gè)解為 和 求a,b的值.

22．已知方程組 的解中的x和y互為相反數(shù)，求a的值.

23.暑假期間，小明到父親經(jīng)營的小超市參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng).一天小明隨父親從銀行換回來58張共計(jì)200元的零鈔用于顧客付款時(shí)找零.細(xì)心的小明清理了一下,發(fā)現(xiàn)其中面值為1元的有20張,面值為10元的有7張,剩下的均為2元和5元的鈔票.你能否用所學(xué)的數(shù)學(xué)方法算出2元和5元的鈔票各有多少張?請(qǐng)寫出演算過程.
24.某人若買13個(gè)雞蛋、5個(gè)鴨蛋、9個(gè)鵝蛋共需用18.5元；若買4個(gè)雞蛋、2個(gè)鴨蛋、3個(gè)鵝蛋共需用6.2元；若買6個(gè)雞蛋、5個(gè)鴨蛋、2個(gè)鵝蛋共需用8元.求雞蛋、鴨蛋、鵝蛋每個(gè)多少元.
25.如圖8-6所示，8塊相同的長方形地磚拼成了一個(gè)矩形圖案（地磚間的縫隙忽略不計(jì)），求每塊地磚的長和寬.


參考答案
1.A[提示：含x,y項(xiàng)的次數(shù)是1.]
2.B[提示:代入后,左邊=右邊=10.]
3.C[提示:代入被選答案中,看方程是否成立,C中左邊=1=右邊.]
4.D
5.B
6.C[提示: 解得 ]


7.D[提示:根據(jù)同類項(xiàng)定義,得 解得 ]


8.C[提示:設(shè)十位上的數(shù)字為x,個(gè)位上的數(shù)字為y,則有x+y=6,x,y為整數(shù),且x＞0,y≥0,所以

]


9.D[提示:共有246人,即x+y=246,男生人數(shù)比女生人數(shù)的2倍少2人,即x=2y-2.]

10.C[提示:設(shè)現(xiàn)在A,B的年齡分別是x歲,y歲,則6年前分別為(x-6)歲,(y-6)歲,故有

解得 ]

11. [提示:把y=-2代入原方程.]

12.x= [提示:移項(xiàng),系數(shù)化為1.]

13. [提示:把 代入方程中,得3m-4-1=0,m= .]
14.-1

15.8[提示:原方程組變形為 兩方程相加,得3x+4y=8.]

16.y=2x[提示:把 代入 中,得y=2x.]

17.2 1 [提示:由第一個(gè)方程組,得 代入第二個(gè)方程組,得 解得 ]


18.1:2:1[提示:把z看成常數(shù),解得 所以x:y:z=z:2z:z=1:2:1.]

19.1[提示:把z看成常數(shù),解得 則所求式子= ]
20.20
21.解:把兩組解分別代入方程中,得 解得


22.解:由題意,得 解得 將 代入ax+y=3中,得a=4.


23.解:設(shè)2元的鈔票有x張,5元的鈔票有y張,則根據(jù)題意,得

解得

24.解:設(shè)雞蛋、鴨蛋、鵝蛋每個(gè)分別為x元，y元，z元，則有 解得

答：雞蛋、鴨蛋、鵝蛋每個(gè)分別為0.5元，0.6元，1元.


25．解：設(shè)每塊地磚的長為x厘米，寬為y厘米，由題意，得 解得

答：每塊地磚的長和寬分別為45厘米、15厘米.

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