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廣東省附城中學(xué)2013屆高三數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)第五章三角函數(shù)
第一節(jié) 角的概念的推廣與弧度制
A組
1．點(diǎn)P從(－1,0)出發(fā)，沿單位圓x2＋y2＝1順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)π3弧長(zhǎng)到達(dá)Q點(diǎn)，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______．
解析：由于點(diǎn)P從(－1,0)出發(fā)，順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)π3弧長(zhǎng)到達(dá)Q點(diǎn)，如圖，因此Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(cos2π3，sin2π3)，即Q(－12，32)．答案：(－12，32)
2．設(shè)α為第四象限角，則下列函數(shù)值一定是負(fù)值的是________．
①tanα2�、趕inα2　③cosα2�、躢os2α
解析：α為第四象限角，則α2為第二、四象限角，因此tanα2<0恒成立，應(yīng)填①，其余三個(gè)符號(hào)可正可負(fù)．答案：①
3．若sinα<0且tanα>0，則α是第_______象限的角．
答案：三
4．函數(shù)y＝sinxsinx＋cosxcosx＋tanxtanx的值域?yàn)開(kāi)_______．
解析：當(dāng)x為第一象限角時(shí)，sinx>0，cosx>0，tanx>0，y＝3；
當(dāng)x為第二象限角時(shí)，sinx>0，cosx<0，tanx<0，y＝－1；
當(dāng)x為第三象限角時(shí)，sinx<0，cosx<0，tanx>0，y＝－1；
當(dāng)x為第四象限角時(shí)，sinx<0，cosx>0，tanx<0，y＝－1.答案：{－1,3}
5．若一個(gè)α角的終邊上有一點(diǎn)P(－4，a)，且sinα•cosα＝34，則a的值為_(kāi)_______．
解析：依題意可知α角的終邊在第三象限，點(diǎn)P(－4，a)在其終邊上且sinα•cosα＝34，易得tanα＝3或33，則a＝－43或－433.答案：－43或－433
6．已知角α的終邊上的一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－3，y)(y≠0)，且sinα＝24y，求cosα，tanα的值．
解：因?yàn)閟inα＝24y＝y(tǒng)(－3)2＋y2，所以y2＝5，
當(dāng)y＝5時(shí)，cosα＝－64，tanα＝－153；
當(dāng)y＝－5時(shí)，cosα＝－64，tanα＝153.
B組
1．已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(a，a)，且a≠0，則sinα的值為_(kāi)_______．
解析：當(dāng)a>0時(shí)，點(diǎn)P(a，a)在第一象限，sinα＝22；
當(dāng)a<0時(shí)，點(diǎn)P(a，－a)在第二象限，sinα＝22.答案：22
2．已知扇形的周長(zhǎng)為6 c，面積是2 c2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是_____．
解析：設(shè)扇形的圓心角為α rad，半徑為R，則
2R＋α•R＝612R2•α＝2，解得α＝1或α＝4.答案：1或4
3．如果一扇形的圓心角為120°，半徑等于 10 c，則扇形的面積為_(kāi)_______．
解析：S＝12αr2＝12×23π×100＝1003π(c2)．答案：1003π c2
4．若角θ的終邊與168°角的終邊相同，則在0°～360°內(nèi)終邊與θ3角的終邊相同的角的集合為_(kāi)_________．答案：{56°，176°，296°}
5．若α＝k•180°＋45°(k∈Z)，則α是第________象限．
解析：當(dāng)k＝2＋1(∈Z)時(shí)，α＝2•180°＋225°＝•360°＋225°，故α為第三象限角；當(dāng)k＝2(∈Z)時(shí)，α＝•360°＋45°，故α為第一象限角．
答案：一或三
6．設(shè)角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－6a，－8a)(a≠0)，則sinα－cosα的值是________．
解析：∵x＝－6a，y＝－8a，∴r＝(－6a)2＋(－8a)2＝10a，
∴sinα－cosα＝y(tǒng)r－xr＝－8a＋6a10a＝－a5a＝±15.答案：±15
7．若點(diǎn)A(x，y)是300°角終邊上異于原點(diǎn)的一點(diǎn)，則yx的值為_(kāi)_______．
解析：yx＝tan300°＝－tan60°＝－3.答案：－3
8．已知點(diǎn)P(sin3π4，cos3π4)落在角θ的終邊上，且θ∈[0,2π)，則θ的值為_(kāi)_______．
解析：由sin3π4>0，cos3π4<0知角θ在第四象限，∵tanθ＝cos3π4sin3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.答案：7π4
9．已知角α的始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊在直線y＝kx上，若sinα＝25，且cosα<0，則k的值為_(kāi)_______．
解析：設(shè)α終邊上任一點(diǎn)P(x，y)，且OP≠0，∴y＝kx，
∴r＝x2＋(kx)2＝1＋k2x.又sinα>0，cosα<0.∴x<0，y>0，
∴r＝－1＋k2x，且k<0.∴sinα＝y(tǒng)r＝kx－1＋k2x＝－k1＋k2，又sinα＝25.
∴－k1＋k2＝25，∴k＝－2.答案：－2
10．已知一扇形的中心角是α，所在圓的半徑是R.若α＝60°，R＝10 c，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在的弓形面積．
解：設(shè)弧長(zhǎng)為l，弓形面積為S弓，∵α＝60°＝π3，R＝10，∴l(xiāng)＝103π(c)，
S弓＝S扇－S△＝12•103π•10－12•102sin60°＝50(π3－32)(c2)．
11．扇形AOB的周長(zhǎng)為8 c.
(1)若這個(gè)扇形的面積為3 c2，求圓心角的大小；
(2)求這個(gè)扇形的面積取得最大值時(shí)圓心角的大小和弦長(zhǎng)AB.
解：設(shè)扇形AOB的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，圓心角為α，
(1)由題意可得2r＋l＝8，12lr＝3，解得r＝3，l＝2，或r＝1l＝6，
∴α＝lr＝23或α＝lr＝6.
(2)∵2r＋l＝2r＋αr＝8，∴r＝82＋α.∴S扇＝12αr2＝12α•64(2＋α)2＝32α＋4α＋4≤4，
當(dāng)且僅當(dāng)α＝4α，即α＝2時(shí)，扇形面積取得最大值4.此時(shí)，r＝82＋2＝2 (c)，
∴AB＝2×2sin1＝4 sin1 (c)．
12．(1)角α的終邊上一點(diǎn)P(4t，－3t)(t≠0)，求2sinα＋cosα的值；
(2)已知角β的終邊在直線y＝3x上，用三角函數(shù)定義求sinβ的值．
解：(1)根據(jù)題意，有x＝4t，y＝－3t，所以r＝(4t)2＋(－3t)2＝5t，
①當(dāng)t＞0時(shí)，r＝5t，sinα＝－35，cosα＝45，所以2sinα＋cosα＝－65＋45＝－25.
②當(dāng)t＜0時(shí)，r＝－5t，sinα＝－3t－5t＝35，cosα＝4t－5t＝－45，
所以2sinα＋cosα＝65－45＝25.
(2)設(shè)P(a，3a)(a≠0)是角β終邊y＝3x上一點(diǎn)，若a＜0，則β是第三象限角，r＝－2a，此時(shí)sinβ＝3a－2a＝－32；若a＞0，則β是第一象限角，r＝2a，
此時(shí)sinβ＝3a2a＝32.

第二節(jié) 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式
A組
1．若cosα＝－35，α∈(π2，π)，則tanα＝________.
解析：cosα＝－35，α∈(π2，π)，所以sinα＝45，∴tanα＝sinαcosα＝－43.
答案：－43
2．若sinθ＝－45，tanθ>0，則cosθ＝________.
解析：由sinθ＝－45<0，tanθ>0知，θ是第三象限角，故cosθ＝－35.
答案：－35
3．若sin(π6＋α)＝35，則cos(π3－α)＝________.
解析：cos(π3－α)＝cos[π2－(π6＋α)]＝sin(π6＋α)＝35.答案：35
4．已知sinx＝2cosx，則5sinx－cosx2sinx＋cosx＝______.
解析：∵sinx＝2cosx，∴tanx＝2，∴5sinx－cosx2sinx＋cosx＝5tanx－12tanx＋1＝95.
答案：95
5．(原創(chuàng)題)若cos2θ＋cosθ＝0，則sin2θ＋sinθ＝________.
解析：由cos2θ＋cosθ＝0，得2cos2θ－1＋cosθ＝0，所以cosθ＝－1或cosθ＝12，當(dāng)cosθ＝－1時(shí)，有sinθ＝0，當(dāng)cosθ＝12時(shí)，有sinθ＝±32.于是sin2θ＋sinθ＝sinθ(2cosθ＋1)＝0或3或－3.答案：0或3或－3
6．已知sin(π－α)cos(－8π－α)＝60169，且α∈(π4，π2)，求cosα，sinα的值．
解：由題意，得2sinαcosα＝120169.①又∵sin2α＋cos2α＝1，②
①＋②得：(sinα＋cosα)2＝289169，②－①得：(sinα－cosα)2＝49169.
又∵α∈(π4，π2)，∴sinα>cosα>0，即sinα＋cosα>0，sinα－cosα>0，
∴sinα＋cosα＝1713.③sinα－cosα＝713，④
③＋④得：sinα＝1213.③－④得：cosα＝513.
B組
1．已知sinx＝2cosx，則sin2x＋1＝________.
解析：由已知，得tanx＝2，所以sin2x＋1＝2sin2x＋cos2x＝2sin2x＋cos2xsin2x＋cos2x＝2tan2x＋1tan2x＋1＝95.答案：95
2． cos10π3＝________.
解析：cos10π3＝cos4π3＝－cosπ3＝－12.答案：－12
3．已知sinα＝35，且α∈(π2，π)，那么sin2αcos2α的值等于________．
解析：cosα＝－1－sin2α＝－45， sin2αcos2α＝2sinαcosαcos2α＝2sinαcosα＝2×35－45＝－32.
答案：－32
4．若tanα＝2，則sinα＋cosαsinα－cosα＋cos2α＝_________________.
解析：sinα＋cosαsinα－cosα＋cos2α＝sinα＋cosαsinα－cosα＋cos2αsin2α＋cos2α＝tanα＋1tanα－1＋1tan2α＋1＝165.答案：165
5．已知tanx＝sin(x＋π2)，則sinx＝___________________.
解析：∵tanx＝sin(x＋π2)＝cosx，∴sinx＝cos2x，∴sin2x＋sinx－1＝0，解得sinx＝5－12.答案：5－12
6．若θ∈[0，π)，且cosθ(sinθ＋cosθ)＝1，則θ＝________.
解析：由cosθ(sinθ＋cosθ)＝1⇒sinθ•cosθ＝1－cos2θ＝sin2θ⇒sinθ(sinθ－cosθ)＝0⇒sinθ＝0或sinθ－cosθ＝0，又∵θ∈[0，π)，∴θ＝0或π4.答案：0或π4
7．已知sin(α＋π12)＝13，則cos(α＋7π12)的值等于________．
解析：由已知，得cos(α＋7π12)＝cos[(α＋π12)＋π2]＝－sin(α＋π12)＝－13.
答案：－13
8．若cosα＋2sinα＝－5，則tanα＝________.
解析：由cosα＋2sinα＝－5，　　　　①sin2α＋cos2α＝1， ②
將①代入②得(5sinα＋2)2＝0，∴sinα＝－255，cosα＝－55，∴tanα＝2.
答案：2
9．已知f(α)＝sin(π－α)cos(2π－α)tan(－α＋3π2)cos(－π－α)，則f(－31π3)的值為_(kāi)_______．
解析：∵f(α)＝sinα•cosα•cotα－cosα＝－cosα，∴f(－313π)＝－cosπ3＝－12.答案：－12
10．求sin(2nπ＋2π3)•cos(nπ＋4π3)(n∈Z)的值．
解：(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，sin(2nπ＋2π3)•cos(nπ＋4π3)＝sin2π3•cos[(n＋1)π＋π3]
＝sin(π－π3)•cosπ3＝sinπ3•cosπ3＝32×12＝34.
(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，sin(2nπ＋2π3)•cos(nπ＋4π3)＝sin2π3•cos4π3＝sin(π－π3)•cos(π＋π3)＝sinπ3•(－cosπ3)＝32×(－12)＝－34.
11．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cosA＝－2cos(π－B)，求△ABC的三內(nèi)角．
解：由已知，得sinA＝2sinB，　　　�、�3cosA＝2cosB， ②
①2＋②2得：2cos2A＝1，即cosA＝±22.
(1)當(dāng)cosA＝22時(shí)，cosB＝32，又A、B是三角形內(nèi)角，∴A＝π4，B＝π6，∴C＝π－(A＋B)＝712π.(2)當(dāng)cosA＝－22時(shí)，cosB＝－32.又A、B是三角形內(nèi)角，∴A＝34π，B＝56π，不合題意．綜上知，A＝π4，B＝π6，C＝712π.
12．已知向量a＝(3，1)，向量b＝(sinα－，cosα)．
(1)若a∥b，且α∈[0,2π)，將表示為α的函數(shù)，并求的最小值及相應(yīng)的α值；(2)若a⊥b，且＝0，求cos(π2－α)•sin(π＋2α)cos(π－α)的值．
解：(1)∵a∥b，∴3cosα－1•(sinα－)＝0，∴＝sinα－3cosα＝2sin(α－π3)．
又∵α∈[0,2π)，∴當(dāng)sin(α－π3)＝－1時(shí)，in＝－2.
此時(shí)α－π3＝32π，即α＝116π.
(2)∵a⊥b，且＝0，∴3sinα＋cosα＝0.∴tanα＝－33.
∴cos(π2－α)•sin(π＋2α)cos(π－α)＝sinα•(－sin2α)－cosα＝tanα•2sinα•cosα
＝tanα•2sinα•cosαsin2α＋cos2α＝tanα•2tanα1＋tan2α＝12.

第三節(jié) 正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)
A組
1．已知函數(shù)f(x)＝sin(x－π2)(x∈R)，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是．
①函數(shù)f(x)的最小正周期為2π②函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，π2]上是增函數(shù)
③函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝0對(duì)稱④函數(shù)f(x)是奇函數(shù)
解析：∵y＝sin(x－π2)＝－cosx，y＝－cosx為偶函數(shù)，
∴T＝2π，在[0，π2]上是增函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．答案：④
2．函數(shù)y＝2cos2(x－π4)－1是________．
①最小正周期為π的奇函數(shù)　②最小正周期為π的偶函數(shù)�、圩钚≌�周期為π2的奇函數(shù)　④最小正周期為π2的偶函數(shù)
解析：y＝2cos2(x－π4)－1＝cos(2x－π2)＝sin2x，∴T＝π，且為奇函數(shù)．
答案：①
3．若函數(shù)f(x)＝(1＋3tanx)cosx，0≤x<π2，則f(x)的最大值為_(kāi)_______．
解析：f(x)＝(1＋3•sinxcosx)•cosx＝cosx＋3sinx＝2sin(x＋π6)，
∵0≤x<π2，∴π6≤x＋π6<2π3，∴當(dāng)x＋π6＝π2時(shí)，f(x)取得最大值2.答案：2
4．已知函數(shù)f(x)＝asin2x＋cos2x(a∈R)圖象的一條對(duì)稱軸方程為x＝π12，則a的值為_(kāi)_______．
解析：∵x＝π12是對(duì)稱軸，∴f(0)＝f(π6)，即cos0＝asinπ3＋cosπ3，∴a＝33.
答案：33
5．設(shè)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象關(guān)于直線x＝π3對(duì)稱，它的最小正周期是π，則f(x)圖象上的一個(gè)對(duì)稱中心是________(寫(xiě)出一個(gè)即可)．
解析：∵T＝2πω＝π，∴ω＝2，又∵函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝π3對(duì)稱，所以有sin(2×π3＋φ)＝±1，∴φ＝k1π－π6(k1∈Z)，由sin(2x＋k1π－π6)＝0得2x＋k1π－π6＝k2π(k2∈Z)，∴x＝π12＋(k2－k1)π2，當(dāng)k1＝k2時(shí)，x＝π12，∴f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為(π12，0)．答案：(π12，0)
6．設(shè)函數(shù)f(x)＝3cos2x＋sinxcosx－32.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期T，并求出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)求在[0,3π)內(nèi)使f(x)取到最大值的所有x的和．
解：(1)f(x)＝32(cos2x＋1)＋12sin2x－32＝32cos2x＋12sin2x＝sin(2x＋π3)，
故T＝π.由2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－512π≤x≤kπ＋π12，
所以單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ－512π，kπ＋π12](k∈Z)．
(2)令f(x)＝1，即sin(2x＋π3)＝1，則2x＋π3＝2kπ＋π2(k∈Z)．于是x＝kπ＋π12(k∈Z)，∵0≤x<3π，且k∈Z，∴k＝0,1,2，則π12＋(π＋π12)＋(2π＋π12)＝13π4.
∴在[0,3π)內(nèi)使f(x)取到最大值的所有x的和為134π.
B組
1．函數(shù)f(x)＝sin(23x＋π2)＋sin23x的圖象相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離是________．
解析：f(x)＝cos2x3＋sin2x3＝2sin(2x3＋π4)，相鄰的兩條對(duì)稱軸之間的距離是半個(gè)周期，T＝2π23＝3π，∴T2＝3π2.答案：3π2
2．給定性質(zhì)：a最小正周期為π；b圖象關(guān)于直線x＝π3對(duì)稱．則下列四個(gè)函數(shù)中，同時(shí)具有性質(zhì)ab的是________．
①y＝sin(x2＋π6)　　　�、趛＝sin(2x＋π6) ③y＝sinx ④y＝sin(2x－π6)
解析：④中，∵T＝2πω＝π，∴ω＝2.又2×π3－π6＝π2，所以x＝π3為對(duì)稱軸．
答案：④
3．若π4<x<π2，則函數(shù)y＝tan2xtan3x的最大值為_(kāi)_．
解析：π4<x<π2，tanx>1，令tan2x－1＝t>0，則y＝tan2xtan3x＝2tan4x1－tan2x＝2(t＋1)2－t＝－2(t＋1t＋2)≤－8，故填－8.答案：－8
4．(函數(shù)f(x)＝sin2x＋2cosx在區(qū)間[－23π，θ]上的最大值為1，則θ的值是________．
解析：因?yàn)閒(x)＝sin2x＋2cosx＝－cos2x＋2cosx＋1＝－(cosx－1)2＋2，又其在區(qū)間[－2π3，θ]上的最大值為1，可知θ只能�。�π2. 答案：－π2
5．若函數(shù)f(x)＝2sinωx(ω>0)在[－2π3，2π3]上單調(diào)遞增，則ω的最大值為_(kāi)_______．
解析：由題意，得2π4ω≥2π3，∴0<ω≤34，則ω的最大值為34.答案：34
6．設(shè)函數(shù)y＝2sin(2x＋π3)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(x0,0)成中心對(duì)稱，若x0∈[－π2，0]，則x0＝________.
解析：因?yàn)閳D象的對(duì)稱中心是其與x軸的交點(diǎn)，所以由y＝2sin(2x0＋π3)＝0，x0∈[－π2，0]，得x0＝－π6.答案：－π6
7．已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋的最大值為4，最小值為0，最小正周期為π2，直線x＝π3是其圖象的一條對(duì)稱軸，則下面各式中符合條件的解析式是________．
①y＝4sin(4x＋π6)②y＝2sin(2x＋π3)＋2③y＝2sin(4x＋π3)＋2 ④y＝2sin(4x＋π6)＋2
解析：因?yàn)橐阎�函�?shù)的最大值為4，最小值為0，所以A＋＝4－A＝0，解得A＝＝2，又最小正周期為2πω＝π2，所以ω＝4，又直線x＝π3是其圖象的一條對(duì)稱軸，將x＝π3代入得sin(4×π3＋φ)＝±1，所以φ＋4π3＝kπ＋π2(k∈Z)，即φ＝kπ－5π6(k∈Z)，當(dāng)k＝1時(shí)，φ＝π6.答案：④
8．有一種波，其波形為函數(shù)y＝sinπ2x的圖象，若在區(qū)間[0，t]上至少有2個(gè)波峰(圖象的最高點(diǎn))，則正整數(shù)t的最小值是________．
解析：函數(shù)y＝sinπ2x的周期T＝4，若在區(qū)間[0，t]上至少出現(xiàn)兩個(gè)波峰，則t≥54T＝5.答案：5
9．已知函數(shù)f(x)＝3sinωx＋cosωx(ω>0)，y＝f(x)的圖象與直線y＝2的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于π，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是________．
解析：∵y＝3sinωx＋cosωx＝2sin(ωx＋π6)，且由函數(shù)y＝f(x)與直線y＝2的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)間的距離為π知，函數(shù)y＝f(x)的周期T＝π，∴T＝2πω＝π，解得ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋π6)．令2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－π3≤x≤kπ＋π6(k∈Z)．答案：[kπ－π3，kπ＋π6](k∈Z)
10．已知向量a＝(2sinωx，cos2ωx)，向量b＝(cosωx,23)，其中ω>0，函數(shù)f(x)＝a•b，若f(x)圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為π.(1)求f(x)的解析式；(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈[π6，π3]，恒有f(x)－<2成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
解：(1)f(x)＝a•b＝(2sinωx，cos2ωx)•(cosωx,23)＝sin2ωx＋3(1＋cos2ωx)＝2sin(2ωx＋π3)＋3.∵相鄰兩對(duì)稱軸的距離為π，∴2π2ω＝2π，∴ω＝12，
∴f(x)＝2sin(x＋π3)＋3.
(2)∵x∈[π6，π3]，∴x＋π3∈[π2，2π3]，∴23≤f(x)≤2＋3.又∵f(x)－<2，
∴－2＋<f(x)<2＋.,若對(duì)任意x∈[π6，π3]，恒有f(x)－<2成立，則有
－2＋≤23，2＋≥2＋3，解得3≤≤2＋23.
11．設(shè)函數(shù)f(x)＝a•b，其中向量a＝(2cosx,1)，b＝(cosx，3sin2x＋)．
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)當(dāng)x∈[0，π6]時(shí)，f(x)的最大值為4，求的值．
解：(1)∵f(x)＝a•b＝2cos2x＋3sin2x＋＝2sin(2x＋π6)＋＋1，
∴函數(shù)f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.
在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，π6]，[2π3，π]．
(2)當(dāng)x∈[0，π6]時(shí)，∵f(x)單調(diào)遞增，∴當(dāng)x＝π6時(shí)，f(x)取得最大值為＋3，即＋3＝4，解之得＝1，∴的值為1.
12．已知函數(shù)f(x)＝3sinωx－2sin2ωx2＋(ω>0)的最小正周期為3π，且當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，函數(shù) f(x)的最小值為0.(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；(2)在△ABC中，若f(C)＝1，且2sin2B＝cosB＋cos(A－C)，求sinA的值．
解：(1)f(x)＝3sinωx＋cosωx－1＋＝2sin(ωx＋π6)－1＋.
依題意，函數(shù)f(x)的最小正周期為3π，即2πω＝3π，解得ω＝23.
∴f(x)＝2sin(2x3＋π6)－1＋.
當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，π6≤2x3＋π6≤5π6，12≤sin(2x3＋π6)≤1，
∴f(x)的最小值為.依題意，＝0.∴f(x)＝2sin(2x3＋π6)－1.
(2)由題意，得f(C)＝2sin(2C3＋π6)－1＝1，∴sin(2C3＋π6)＝1.
而π6≤2C3＋π6≤5π6，∴2C3＋π6＝π2，解得C＝π2.∴A＋B＝π2.
在Rt△ABC中，∵A＋B＝π2，2sin2B＝cosB＋cos(A－C)．
∴2cos2A－sinA－sinA＝0，解得sinA＝－1±52.∵0<sinA<1，∴sinA＝5－12.

第四節(jié) 函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖像
A組
1．已知a是實(shí)數(shù)，則函數(shù)f(x)＝1＋asinax的圖象不可能是________．

解析：函數(shù)的最小正周期為T(mén)＝2πa，∴當(dāng)a>1時(shí)，T<2π.當(dāng)0<a<1時(shí)，T>2π，觀察圖形中周期與振幅的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)④不符合要求．答案：④
2．將函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移φ(0≤φ<2π)個(gè)單位后，得到函數(shù)y＝sin(x－π6)的圖象，則φ等于________．
解析：y＝sin(x－π6)＝sin(x－π6＋2π)＝sin(x＋11π6)．答案：11π6
3．將函數(shù)f(x)＝3sinx－cosx的圖象向右平移φ(φ>0)個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，則φ的最小值為_(kāi)_______．
解析：因?yàn)閒(x)＝3sinx－cosx＝2sin(x－π6)，f(x)的圖象向右平移φ個(gè)單位所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，則φ的最小值為5π6.
答案：5π6
4．如圖是函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<π)，x∈R的部分圖象，則下列命題中，正確命題的序號(hào)為_(kāi)_______．
①函數(shù)f(x)的最小正周期為π2；
②函數(shù)f(x)的振幅為23；
③函數(shù)f(x)的一條對(duì)稱軸方程為x＝712π；
④函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[π12，712π]；
⑤函數(shù)的解析式為f(x)＝3sin(2x－23π)．
解析：據(jù)圖象可得：A＝3，T2＝5π6－π3⇒T＝π，故ω＝2，又由f(7π12)＝3⇒sin(2×7π12＋φ)＝1，解得φ＝2kπ－2π3(k∈Z)，又－π<φ<π，故φ＝－2π3，故f(x)＝3sin(2x－2π3)，依次判斷各選項(xiàng)，易知①②是錯(cuò)誤的，由圖象易知x＝7π12是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，故③正確，④函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間有無(wú)窮多個(gè)，區(qū)間[π12，7π12]只是函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，⑤由上述推導(dǎo)易知正確．答案：③⑤
5．已知函數(shù)f(x)＝sinωx＋cosωx，如果存在實(shí)數(shù)x1，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有f(x1)≤f(x)≤f(x1＋2010)成立，則ω的最小值為_(kāi)_______．
解析：顯然結(jié)論成立只需保證區(qū)間[x1，x1＋2010]能夠包含函數(shù)的至少一個(gè)完整的單調(diào)區(qū)間即可，且f(x)＝sinωx＋cosωx＝2sin(ωx＋π4)，則2010≥2πω2⇒ω≥π2010.答案：π2010
6．已知函數(shù)f(x)＝sin2ωx＋3sinωx•sin(ωx＋π2)＋2cos2ωx，x∈R(ω>0)，在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為π6. (1)求ω；
(2)若將函數(shù)f(x)的圖象向右平移π6個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的最大值及單調(diào)遞減區(qū)間．
解：(1)f(x)＝32sin2ωx＋12cos2ωx＋32＝sin(2ωx＋π6)＋32，
令2ωx＋π6＝π2，將x＝π6代入可得：ω＝1.
(2)由(1)得f(x)＝sin(2x＋π6)＋32，
經(jīng)過(guò)題設(shè)的變化得到的函數(shù)g(x)＝sin(12x－π6)＋32，
當(dāng)x＝4kπ＋43π，k∈Z時(shí)，函數(shù)取得最大值52.
令2kπ＋π2≤12x－π6≤2kπ＋32π(k∈Z)，
∴4kπ＋4π3≤x≤4kπ＋103π(k∈Z)．
即x∈[4kπ＋4π3，4kπ＋103π]，k∈Z為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．
B組
1．已知函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的圖象如圖所示，則φ＝________.
解析：由圖可知，T2＝2π－34π，
∴T＝52π，∴2πω＝52π，∴ω＝45，
∴y＝sin(45x＋φ)．
又∵sin(45×34π＋φ)＝－1，
∴sin(35π＋φ)＝－1，
∴35π＋φ＝32π＋2kπ，k∈Z.
∵－π≤φ<π，∴φ＝910π. 答案：910π
2．已知函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ<π)的圖象如圖所示，則φ＝________.
解析：由圖象知T＝2(2π3－π6)＝π.
∴ω＝2πT＝2，把點(diǎn)(π6，1)代入，可得2×π6＋φ＝π2，φ＝π6.答案：π6
3．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋π4)(x∈R，ω>0)的最小正周期為π，為了得到函數(shù)g(x)＝cosωx的圖象，只要將y＝f(x)的圖象________．
解析：∵f(x)＝sin(ωx＋π4)(x∈R，ω>0)的最小正周期為π，
∴2πω＝π，故ω＝2.
又f(x)＝sin(2x＋π4)∴g(x)＝sin[2(x＋π8)＋π4]＝sin(2x＋π2)＝cos2x.
答案：向左平移π8個(gè)單位長(zhǎng)度
4．已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ) 的圖象如圖所示，f(π2)＝－23，則f(0)＝________.
解析：T2＝1112π－712π＝π3，∴ω＝2πT＝3.
又(712π，0)是函數(shù)的一個(gè)上升段的零點(diǎn)，
∴3×712π＋φ＝3π2＋2kπ(k∈Z)，得φ＝－π4＋2kπ，k∈Z，
代入f(π2)＝－23，得A＝223，∴f(0)＝23. 答案：23
5．將函數(shù)y＝sin(2x＋π3)的圖象向________平移________個(gè)單位長(zhǎng)度后所得的圖象關(guān)于點(diǎn)(－π12，0)中心對(duì)稱．
解析：由y＝sin(2x＋π3)＝sin2(x＋π6)可知其函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(－π6，0)對(duì)稱，因此要使平移后的圖象關(guān)于(－π12，0)對(duì)稱，只需向右平移π12即可．答案：右　π12
6．定義行列式運(yùn)算：a1　a2a3　a4＝a1a4－a2a3，將函數(shù)f(x)＝3　cosx1　 sinx的圖象向左平移個(gè)單位(>0)，若所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值是________．
解析：由題意，知f(x)＝3sinx－cosx＝2(32sinx－12cosx)＝2sin(x－π6)，
其圖象向左平移個(gè)單位后變?yōu)閥＝2sin(x－π6＋)，平移后其對(duì)稱軸為x－π6＋＝kπ＋π2，k∈Z.若為偶函數(shù)，則x＝0，所以＝kπ＋2π3(k∈Z)，故的最小值為2π3.答案：2π3
7．若將函數(shù)y＝tan(ωx＋π4)(ω>0)的圖象向右平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度后，與函數(shù)y＝tan(ωx＋π6)的圖象重合，則ω的最小值為_(kāi)_______．
解析：y＝tan(ωx＋π4)向右平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)解析式y(tǒng)＝tan[ω(x－π6)＋π4]，即y＝tan(ωx＋π4－πω6)，顯然當(dāng)π4－πω6＝π6＋kπ(k∈Z)時(shí)，兩圖象重合，此時(shí)ω＝12－6k(k∈Z)．∵ω>0，∴k＝0時(shí)，ω的最小值為12.答案：12
8．給出三個(gè)命題：①函數(shù)y＝sin(2x＋π3)的最小正周期是π2；②函數(shù)y＝sin(x－3π2)在區(qū)間[π，3π2]上單調(diào)遞增；③x＝5π4是函數(shù)y＝sin(2x＋5π6)的圖象的一條對(duì)稱軸．其中真命題的個(gè)數(shù)是________．
解析：由于函數(shù)y＝sin(2x＋π3)的最小正周期是π，故函數(shù)y＝sin(2x＋π3)的最小正周期是π2，①正確；y＝sin(x－3π2)＝cosx，該函數(shù)在[π，3π2)上單調(diào)遞增， ②正確；當(dāng)x＝5π4時(shí)，y＝sin(2x＋5π6)＝sin(5π2＋5π6)＝sin(π2＋5π6)＝cos5π6＝－32，不等于函數(shù)的最值，故x＝5π4不是函數(shù)y＝sin(2x＋5π6)的圖象的一條對(duì)稱軸，③不正確．答案：2
9．當(dāng)0≤x≤1時(shí)，不等式sinπx2≥kx恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．
解析：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，y＝sinπx2的圖象如圖所示，y＝kx的圖象在[0,1]之間的部分應(yīng)位于此圖象下方，當(dāng)k≤0時(shí)，y＝kx在[0,1]上的圖象恒在x軸下方，原不等式成立．
當(dāng)k>0，kx≤sinπx2時(shí)，在x∈[0,1]上恒成立，k≤1即可．
故k≤1時(shí)，x∈[0,1]上恒有sinπx2≥kx.答案：k≤1
10．設(shè)函數(shù)f(x)＝(sinωx＋cosωx)2＋2cos2ωx(ω>0)的最小正周期為2π3.(1)求ω的值；(2)若函數(shù)y＝g(x)的圖象是由y＝f(x)的圖象向右平移π2個(gè)單位長(zhǎng)度得到，求y＝g(x)的單調(diào)增區(qū)間．
解：(1)f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx＋2sinωx•cosωx＋1＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋2＝2sin(2ωx＋π4)＋2，依題意，得2π2ω＝2π3，故ω＝32.
(2)依題意，得g(x)＝2sin[3(x－π2)＋π4]＋2＝2sin(3x－5π4)＋2.
由2kπ－π2≤3x－5π4≤2kπ＋π2(k∈Z)，解得23kπ＋π4≤x≤23kπ＋7π12(k∈Z)．
故g(x)的單調(diào)增區(qū)間為[23kπ＋π4，23kπ＋7π12](k∈Z)．
11．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0,0<φ<π2)的周期為π，且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為(2π3，－2)．
(1)求f(x)的解析式；(2)當(dāng)x∈[0，π12]時(shí)，求f(x)的最值．
解：(1)由最低點(diǎn)為(2π3，－2)得 A＝2.由T＝π得ω＝2πT＝2ππ＝2.
由點(diǎn)(2π3，－2)在圖象上得2sin(4π3＋φ)＝－2，即sin(4π3＋φ)＝－1，
∴4π3＋φ＝2kπ－π2(k∈Z)，即φ＝2kπ－11π6，k∈Z.又φ∈(0，π2)，∴φ＝π6，
∴f(x)＝2sin(2x＋π6)．
(2)∵x∈[0，π12]，∴2x＋π6∈[π6，π3]，∴當(dāng)2x＋π6＝π6，即x＝0時(shí)，f(x)取得最小值1；當(dāng)2x＋π6＝π3，即x＝π12時(shí)，f(x)取得最大值3.
12．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，φ<π2.
(1)若cosπ4cosφ－sin3π4sinφ＝0，求φ的值；
(2)在(1)的條件下，若函數(shù)f(x)的圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離等于π3，求函數(shù)f(x)的解析式；并求最小正實(shí)數(shù)，使得函數(shù)f(x)的圖象向左平移個(gè)單位后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)．
解：法一：(1)由cosπ4cosφ－sin3π4sinφ＝0得cosπ4cosφ－sinπ4sinφ＝0，
即cos(π4＋φ)＝0.又φ<π2，∴φ＝π4.
(2)由(1)得，f(x)＝sin(ωx＋π4)．依題意，T2＝π3，又T＝2πω，故ω＝3，
∴f(x)＝sin(3x＋π4)．函數(shù)f(x)的圖象向左平移個(gè)單位后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為
g(x)＝sin[3(x＋)＋π4]，g(x)是偶函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)3＋π4＝kπ＋π2(k∈Z)，
即＝kπ3＋π12(k∈Z)．從而，最小正實(shí)數(shù)＝π12.
法二：(1)同法一．
(2)由(1)得 ，f(x)＝sin(ωx＋π4)．依題意，T2＝π3.又T＝2πω，故ω＝3，
∴f(x)＝sin(3x＋π4)．
函數(shù)f(x)的圖象向左平移個(gè)單位后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝sin[3(x＋)＋π4]．
g(x)是偶函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)g(－x)＝g(x)對(duì)x∈R恒成立，
亦即sin(－3x＋3＋π4)＝sin(3x＋3＋π4)對(duì)x∈R恒成立．
∴sin(－3x)cos(3＋π4)＋cos(－3x)•sin(3＋π4)
＝sin3xcos(3＋π4)＋cos3xsin(3＋π4)，
即2sin3xcos(3＋π4)＝0對(duì)x∈R恒成立．∴cos(3＋π4)＝0，故3＋π4＝kπ＋π2(k∈Z)，∴＝kπ3＋π12(k∈Z)，從而，最小正實(shí)數(shù)＝π12.

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