1．1．2 圓柱、圓錐、圓臺和球
【課時(shí)目標(biāo)】 認(rèn)識柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)．
1．一般地，由一個(gè)________________沿某一方向平移形成的空間幾何體叫做棱柱．
平移起止位置的兩個(gè)面叫做棱柱的________，多邊形的邊平移所形成的面叫做棱柱的________，兩側(cè)面的公共邊叫________．
2．當(dāng)棱柱的一個(gè)底面__________________時(shí)，得到的幾何體叫做棱錐(如圖所示)．
3．棱臺是棱錐被平行于底面的一個(gè)平面所截后，______和________之間的部分．
4．將________、________________、______________分別繞著它的________、______________、____________________所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體分別叫做圓柱、圓錐、圓臺，這條直線叫做______，垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做________，不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做________，無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，這條邊都叫做________．
5．________繞著它的______所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做球面，球面圍成的幾何體叫做______，簡稱______．
一、填空題
1．將梯形沿某一方向平移形成的幾何體是________．
2．有下列命題：①棱柱的底面一定是多邊形；②棱臺的底面一定是梯形；③棱柱被平面截成的兩部分可以都是棱柱；④棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐．
其中正確命題的序號是________．
3．棱臺具備的性質(zhì)是________(填序號)．
①兩底面相似；
②側(cè)面都是梯形；
③側(cè)棱都相等；
④側(cè)棱延長后都交于一點(diǎn)．
4．下列命題中正確的是________(填序號)．
①有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱；
②有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱；
③有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱；
④用一個(gè)平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺．
5．以任意方式截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓，則這個(gè)幾何體一定是________．
6．右圖所示的幾何體是由下列哪個(gè)平面圖形通過旋轉(zhuǎn)得到的________(填序號)．
7．下列敘述中錯誤的是________．(填序號)
①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；
②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺；
③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓；
④用一個(gè)平面去截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺．
8．如圖所示的幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐而得到的組合體，現(xiàn)用一個(gè)豎直的平面去截這個(gè)組合體，則截面圖形可能是______(填序號)．
9．在下面的四個(gè)平面圖形中，哪幾個(gè)是側(cè)棱都相等的四面體的展開圖？其序號是______．
二、解答題
10．如圖所示為長方體ABCD?A′B′C′D′，當(dāng)用平面BCFE把這個(gè)長方體分成兩部分后，各部分形成的多面體還是棱柱嗎？如果不是，請說明理由；如果是，指出底面及側(cè)棱．
11．如圖所示，已知△ABC，以AB為軸，將△ABC旋轉(zhuǎn)360°．試指出這個(gè)旋轉(zhuǎn)體是由怎樣的簡單幾何體構(gòu)成的？畫出這個(gè)旋轉(zhuǎn)體的直觀圖．
能力提升
12．一個(gè)三棱錐的各棱長均相等，其內(nèi)部有一個(gè)內(nèi)切球，即球與三棱錐的各面均相切(球在三棱錐的內(nèi)部，且球與三棱錐的各面只有一個(gè)交點(diǎn))，過一條側(cè)棱和對邊的中點(diǎn)作三棱錐的截面，所得截面是下列______圖形．(填序號)
13．如圖，在底面半徑為1，高為2的圓柱上A點(diǎn)處有一只螞蟻，它要圍繞圓柱由A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，問螞蟻爬行的最短距離是多少？
1．學(xué)習(xí)本節(jié)知識，要注意結(jié)合集合的觀點(diǎn)來認(rèn)識各種幾何體的性質(zhì)，還要注意結(jié)合動態(tài)直觀圖從運(yùn)動變化的觀點(diǎn)認(rèn)識棱柱、棱錐和棱臺的關(guān)系．
2．在討論旋轉(zhuǎn)體的性質(zhì)時(shí)軸截面具有極其重要的作用，它決定著旋轉(zhuǎn)體的大小、形狀，旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)元素之間的關(guān)系可以在軸截面上體現(xiàn)出來．軸截面是將旋轉(zhuǎn)體問題轉(zhuǎn)化為平面問題的關(guān)鍵．
3．幾何體表面距離最短問題需要把表面展開在同一平面上，然后利用兩點(diǎn)間距離的最小值是連結(jié)兩點(diǎn)的線段長求解．
第1章 立體幾何初步
§1.1 空間幾何體
1．1.1 棱柱、棱錐和棱臺
1．1.2 圓柱、圓錐、圓臺和球
答案
知識梳理
1．平面多邊形 底面 側(cè)面 側(cè)棱
2．收縮為一個(gè)點(diǎn)
3．截面 底面
4．矩形 直角三角形 直角梯形 一邊 一直角邊 垂直于底邊的腰 軸 底面 側(cè)面 母線
5．半圓 直徑 球體 球
作業(yè)設(shè)計(jì)
1．四棱柱 2.①③
3．①②④
解析 用棱臺的定義去判斷．
4．③
解析 ①、②的反例圖形如圖所示，④顯然不正確．
5．球體 6.① 7.①②③④
8．(1)(5)
解析 一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐后，剩下的幾何體被一個(gè)豎直的平面所截后，圓柱的輪廓是矩形除去一條邊，圓錐的輪廓是三角形除去一條邊或拋物線的一部分．
9．①②
10．解 截面BCFE右側(cè)部分是棱柱，因?yàn)樗鼭M足棱柱的定義．
它是三棱柱BEB′?CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．
EF，B′C′，BC是側(cè)棱，
截面BCFE左側(cè)部分也是棱柱．
它是四棱柱ABEA′?DCFD′.
其中四邊形ABEA′和四邊形DCFD′是底面．
A′D′，EF，BC，AD為側(cè)棱．
11．解 這個(gè)旋轉(zhuǎn)體可由一個(gè)大圓錐挖去一個(gè)同底面的小圓錐而得到，直觀圖如圖所示．
12．②
13．解 把圓柱的側(cè)面沿AB剪開，然后展開成為平面圖形??矩形，如圖所示，連結(jié)AB′，則AB′即為螞蟻爬行的最短距離．
∵AB＝A′B′＝2，AA′為底面圓的周長，且AA′＝2π×1＝2π，
∴AB′＝A′B′2＋AA′2
＝4＋?2π?2＝21＋π2，
即螞蟻爬行的最短距離為21＋π2.
1．1．3 中心投影和平行投影
【課時(shí)目標(biāo)】 1．了解中心投影和平行投影．2．能畫出簡單空間圖形(柱、錐、臺、球及其組合體)的三視圖．3．能識別三視圖所表示的立體模型．
1．平行投影與中心投影的不同之處在于：平行投影的投影線是________，而中心投影的投影線________．
2．三視圖包括__________、__________和__________，其中幾何體的____________和__________高度一樣，__________與____________長度一樣，__________與__________寬度一樣．
一、選擇題
1．人在燈光下走動，當(dāng)人逐漸遠(yuǎn)離燈光時(shí)，其影子的長度將________．
2．兩條相交直線的平行投影是________．
3．如圖所示，下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個(gè)視圖相同的是(填序號)________．
4．一個(gè)長方體去掉一角的直觀圖如圖所示，關(guān)于它的三視圖，下列畫法正確的是________(填序號)．
5．某幾何體的三視圖如圖所示，那么這個(gè)幾何體是________________________________．
6．若一個(gè)三棱柱的三視圖如圖所示，則這個(gè)三棱柱的高(兩底面之間的距離)和底面邊長分別是________和________．
7．用小正方體搭成一個(gè)幾何體，如圖是它的主視圖和左視圖，搭成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)最多為________個(gè)．
8．根據(jù)如圖所示俯視圖，找出對應(yīng)的物體．
(1)對應(yīng)________；(2)對應(yīng)________；
(3)對應(yīng)________；(4)對應(yīng)________；
(5)對應(yīng)________．
9．如圖1所示，E，F(xiàn)分別為正方體的面AD1，BC1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的正投影可能是圖2中的________．(填上可能的序號)
二、解答題
10．在下面圖形中，圖(b)是圖(a)中實(shí)物畫出的主視圖和俯視圖，你認(rèn)為正確嗎？如果不正確，請找出錯誤并改正，然后畫出左視圖(尺寸不作嚴(yán)格要求)．
11．如圖是截去一角的長方體，畫出它的三視圖．
能力提升
12．如圖，螺栓是棱柱和圓柱的組合體，畫出它的三視圖．
13．用小立方體搭成一個(gè)幾何體，使它的主視圖和俯視圖如圖所示，搭建這樣的幾何體，最多要幾個(gè)小立方體？最少要幾個(gè)小立方體？
在繪制三視圖時(shí)，要注意以下三點(diǎn)：
1．若兩相鄰物體的表面相交，表面的交線是它們的原分界線，在三視圖中，分界線和可見輪廓都用實(shí)線畫出，不可見輪廓用虛線畫出．
2．一個(gè)物體的三視圖的排列規(guī)則是：俯視圖放在主視圖的下面，長度和主視圖一樣．左視圖放在主視圖的右面，高度和主視圖一樣，寬度和俯視圖一樣，簡記為“長對正，高平齊，寬相等”．
3．在畫物體的三視圖時(shí)應(yīng)注意觀察角度，角度不同，往往畫出的三視圖不同．
1．1.3 中心投影和平行投影
答案
知識梳理
1．平行的 交于一點(diǎn)
2．主視圖 左視圖 俯視圖 左視圖 主視圖 俯視圖 主視圖 左視圖 俯視圖
作業(yè)設(shè)計(jì)
1．變長
解析 中心投影的性質(zhì)．
2．兩條相交直線或一條直線
3．②④
解析 在各自的三視圖中①正方體的三個(gè)視圖都相同；②圓錐有兩個(gè)視圖相同；③三棱臺的三個(gè)視圖都不同；④正四棱錐有兩個(gè)視圖相同．
4．① 5.四棱錐
6．2 4
解析 三棱柱的高同左視圖的高，左視圖的寬度恰為底面正三角形的高，故底邊長為4.
7．7
8．(1)D (2)A (3)E (4)C (5)B
9．②③
解析 圖②為四邊形BFD1E在正方體前后及上下面上的正投影，
③為其在左右側(cè)面上的正投影．
10．解 圖(a)是由兩個(gè)長方體組合而成的，主視圖正確，俯視圖錯誤，俯視圖應(yīng)該畫出不可見輪廓線(用虛線表示)，左視圖輪廓是一個(gè)矩形，有一條可視的交線(用實(shí)線表示)，正確畫法如圖所示．
11．解 該圖形的三視圖如圖所示．
12．解 該物體是由一個(gè)正六棱柱和一個(gè)圓柱組合而成的，主視圖反映正六棱柱的三個(gè)側(cè)面和圓柱側(cè)面，左視圖反映正六棱柱的兩個(gè)側(cè)面和圓柱側(cè)面，俯視圖反映該物體投影后是一個(gè)正六邊形和一個(gè)圓(中心重合)．它的三視圖如圖所示．
13．解 由于主視圖中每列的層數(shù)即是俯視圖中該列的最大數(shù)字，因此，用的立方塊數(shù)最多的情況是每個(gè)方框都用該列的最大數(shù)字，即如圖①所示，此種情況共用小立方塊17塊．
而搭建這樣的幾何體用方塊數(shù)最少的情況是每列只要有一個(gè)最大的數(shù)字，其他方框內(nèi)的數(shù)字可減少到最少的1，即如圖②所示，這樣的擺法只需小立方塊11塊．
1．1．4 直觀圖畫法
【課時(shí)目標(biāo)】 1．了解斜二測畫法的概念．2．會用斜二測畫法畫出一些簡單的平面圖形和立體圖形的直觀圖．
用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形直觀圖的步驟：
(1)在空間圖形中取互相________的x軸和y軸，兩軸交于O點(diǎn)，再取z軸，使∠xOz＝________，且∠yOz＝________．
(2)畫直觀圖時(shí)把它們畫成對應(yīng)的x′軸、y′軸和z′軸，它們相交于O′，并使∠x′O′y′＝______(或______)，∠x′O′z′＝________，x′軸和y′軸所確定的平面表示水平面．
(3)已知圖形中平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸、y′軸或z′軸的線段．
(4)已知圖形中平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中保持原長度________；平行于y軸的線段，長度為原來的________．
一、填空題
1．下列結(jié)論：
①角的水平放置的直觀圖一定是角；
②相等的角在直觀圖中仍然相等；
③相等的線段在直觀圖中仍然相等；
④兩條平行線段在直觀圖中對應(yīng)的兩條線段仍然平行．
其中正確的有__________(填序號)．
2．具有如圖所示直觀圖的平面圖形ABCD的形狀是____________．
3．如圖，正方形O′A′B′C′的邊長為1 cm，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖的周長是________ cm．
4．下面每個(gè)選項(xiàng)的2個(gè)邊長為1的正△ABC的直觀圖不是全等三角形的一組是______(填序號)．
5．△ABC面積為10，以它的一邊為x軸畫出直觀圖，其直觀圖的面積為________．
6．一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是一個(gè)底角為45°，腰和上底長均為1的等腰梯形，則該平面圖形的面積等于__________．
7．利用斜二測畫法得到：
①三角形的直觀圖是三角形；
②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；
③正方形的直觀圖是正方形；
④菱形的直觀圖是菱形．
以上結(jié)論，正確的是______________．
8．水平放置的△ABC的斜二測直觀圖如圖所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，則AB邊上的中線的實(shí)際長度為____________．
9．如圖所示，為一個(gè)水平放置的正方形ABCO，它在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,2)，則在用斜二測畫法畫出的正方形的直觀圖中，頂點(diǎn)B′到x′軸的距離為______．
二、解答題
10．如圖所示，已知幾何體的三視圖，用斜二測畫法畫出它的直觀圖．
11．如圖所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，試畫出它的直觀圖．
能力提升
12．已知△ABC的平面直觀圖△A′B′C′是邊長為a的正三角形，那么原△ABC的面積為________．
13．在水平放置的平面α內(nèi)有一個(gè)邊長為1的正方形A′B′C′D′，如圖，其中的對角線A′C′在水平位置，已知該正方形是某個(gè)四邊形用斜二測畫法畫出的直觀圖，試畫出該四邊形的真實(shí)圖形并求出其面積．
直觀圖與原圖形的關(guān)系
1．斜二測畫法是聯(lián)系直觀圖和原圖形的橋梁，可根據(jù)它們之間的可逆關(guān)系尋找它們的聯(lián)系；在求直觀圖的面積時(shí)，可根據(jù)斜二測畫法，畫出直觀圖，從而確定其高和底邊等；而求原圖形的面積可把直觀圖還原為原圖形；此類題易混淆原圖形與直觀圖中的垂直關(guān)系而出錯，在原圖形中互相垂直的直線在直觀圖中不一定垂直，反之也是．所以在求面積時(shí)應(yīng)按照斜二測畫法的規(guī)則把原圖形與直觀圖都畫出來，找出改變量與不變量．用斜二測畫法畫出的水平放置的平面圖形的直觀圖的面積是原圖形面積的24倍．
2．在用斜二測畫法畫直觀圖時(shí)，平行線段仍然平行，所畫平行線段之比仍然等于它的真實(shí)長度之比，但所畫夾角大小不一定是其真實(shí)夾角大小．
1．1．4 直觀圖畫法 答案
知識梳理
(1)垂直 90° 90° (2)45° 135° 90°
(4)不變 一半
作業(yè)設(shè)計(jì)
1．①②⑤
解析 由斜二測畫法的規(guī)則判斷．
2．直角梯形
3．8
解析
根據(jù)直觀圖的畫法，原幾何圖形如圖所示，四邊形OABC為平行四邊形，OB＝22，OA＝1，AB＝3，從而原圖周長為8 cm．
4．③
5．522
解析 設(shè)△ABC面積為S，
則直觀圖面積S′＝24S＝522．
6．2＋2
解析 如圖1所示，等腰梯形A′B′C′D′為水平放置的原平面圖形的直觀圖，作D′E′∥A′B′交B′C′于E′，由斜二測直觀圖畫法規(guī)則，直觀圖是等腰梯形A′B′C′D′的原平面圖形為如圖2所示的直角梯形ABCD，且AB＝2，BC＝1＋2，AD＝1，所以SABCD＝2＋2．
圖1 圖2
7．①②
解析 斜二測畫法得到的圖形與原圖形中的線線相交、相對線線平行關(guān)系不會改變，因此三角形的直觀圖是三角形，平行四邊形的直觀圖是平行四邊形．
8．2．5
解析 由直觀圖知，原平面圖形為直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，計(jì)算得AB＝5，所求中線長為2．5．
9．22
解析
畫出直觀圖，則B′到x′軸的距離為22?12OA＝24OA＝22．
10．解 (1)作出長方體的直觀圖ABCD－A1B1C1D1，如圖a所示；
(2)再以上底面A1B1C1D1的對角線交點(diǎn)為原點(diǎn)建立x′，y′，z′軸，如圖b所示，在z′上取點(diǎn)V′，使得V′O′的長度為棱錐的高，連結(jié)V′A1，V′B1，V′C1，V′D1，得到四棱錐的直觀圖，如圖b；
(3)擦去輔助線和坐標(biāo)軸，遮住部分用虛線表示，得到幾何體的直觀圖，如圖c．
11．解 (1)如圖a所示，在梯形ABCD中，以邊AB所在的直線為x軸，點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系xOy．如圖b所示，畫出對應(yīng)的x′軸，y′軸，使∠x′O′y′＝45°．
(2)在圖a中，過D點(diǎn)作DE⊥x軸，垂足為E．在x′軸上取A′B′＝AB＝4 cm，A′E′＝AE＝323≈2．598 cm；過點(diǎn)E′作E′D′∥y′軸，使E′D′＝12ED，再過點(diǎn)D′作D′C′∥x′軸，且使D′C′＝DC＝2 cm．
(3)連結(jié)A′D′、B′C′，并擦去x′軸與y′軸及其他一些輔助線，如圖c所示，則四邊形A′B′C′D′就是所求作的直觀圖．
12．62a2
解析 畫△ABC直觀圖如圖(1)所示：
則A′D′＝32a，又∠x′O′y′＝45°，∴A′O′＝62a．
畫△ABC的實(shí)際圖形，
如圖(2)所示，AO＝2A′O′＝6a，BC＝B′C′＝a，
∴S△ABC＝12BC?AO＝62a2．
13．
解 四邊形ABCD的真實(shí)圖形如圖所示，
∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′為正方形，
∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，
∴在原四邊形ABCD中，
DA⊥AC，AC⊥BC，∵DA＝2D′A′＝2，
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