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2013年龍巖市初中畢業(yè)、升學考試
數(shù) 學試題
（滿分：150分考試時間：120分鐘）
注意：
請把所有答案填涂或書寫到答題卡上！請不要錯位、越界答題！
在本試題上答題無效.
一、（本大題共10小題，每小題4分，共40分．每小題的四個選項中，只有一項是符合題目要求）
1．計算：
A．3 B． C．7 D．
2．右圖是由四個相同的小正方體組合而成的立體圖形，它的俯視圖是

A B C D
3．下列計算正確的是
A． B． C． D．
4．下列圖形，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是
A．等邊三角形 B．平行四邊形 C．正五邊形 D．正六邊形
5．在九年級某次體育測試中，某班參加仰臥起坐測試的一組女生（每組8人）成績?nèi)缦拢▎挝唬捍?分）：45、44、45、42、45、46、48、45，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)分別為
A．44、45 B．45、45 C．44、46 D． 45、46
6．如圖，A、B、P是半徑為2的⊙O上的三點，∠APB＝45°，
則弦AB的長為
A． B．2 C． D．4
7．若我們把十位上的數(shù)字比個位和百位上的數(shù)字都大的三位數(shù)稱為凸數(shù)，如：786，465．則由1，2，3這三個數(shù)字構(gòu)成的，數(shù)字不重復的三位數(shù)是“凸數(shù)”的概率是
A． B． C． D．
8．若二次函數(shù) （）的圖象如圖所示，則下列選項正確的是
A． B． C． D．

9．如圖，邊長分別為4和8的兩個正方形ABCD和CEFG并排放在一起，連結(jié)BD并延長交EG于點T，交FG于點P，則GT＝
A． B． C．2 D．1
10．如圖，在平面直角坐標系中，A(0，2)，B(0，6)，動點C在直線y＝x上．若以A、B、C三點為頂點的三角形是等腰三角形，則點C的個數(shù)是
A．2 B．3 C．4 D．5
二、題（本大題共7小題，每小題3分，共21分）
11．分解因式＝______________．
12．已知x＝3是方程的一個根，則 ______．
13．已知，則＝____________.
14．如圖，PA是⊙O的切線，A為切點，B是⊙O上一點，
BC⊥AP于點C，且OB=BP=6，則BC=_____________．
15．如圖，AB∥CD，BC與AD相交于點，N是射線CD上的一點．
若∠B＝65°，∠DN＝135°，則∠AB＝_________．
16．下列說法：
①對頂角相等；
②打開電視機，“正在播放《新聞聯(lián)播》”是必然事件；
③若某次摸獎活動中獎的概率是，則摸5次一定會中獎；
④想了解端午節(jié)期間某市場粽子的質(zhì)量情況，適合的調(diào)查方式是抽樣調(diào)查；
⑤若甲組數(shù)據(jù)的方差s2＝0.01，乙組數(shù)據(jù)的方差s2＝0.05，則乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)更穩(wěn)定．
其中正確的說法是________________．（寫出所有正確說法的序號）
17．對于任意非零實數(shù)a、b，定義運算“ ”，使下列式子成立：
，，，，…，則 ___________．
三、解答題（本大題共8小題，共89分）
18．(本題滿分10分)
（1）計算： ;
（2）解方程：．
19．(本題滿分8分)先化簡，再求值：，其中．
20．(本題滿分10分)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，
E、F是對角線AC上的兩點，∠1＝∠2．
（1）求證：AE=CF；
（2）求證：四邊形EBFD是平行四邊形．
21．(本題滿分10分)某市在2013年義務(wù)教育質(zhì)量監(jiān)測過程中，為了解學生的家庭教育情況，就八年級學生平時主要和誰在一起生活進行了抽樣調(diào)查.下面是根據(jù)這次調(diào)查情況制作的不完整的頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計圖．
頻數(shù)分布表

請根據(jù)上述信息，回答下列問題:
（1） _______________， _______________;
（2）在扇形統(tǒng)計圖中，和外公外婆一起生活的學生所對應(yīng)扇形圓心角的度數(shù)是________;
（3）若該市八年級學生共有3萬人，估計不與父母一起生活的學生有_______________人.
22．(本題滿分12分)如圖①，在矩形紙片ABCD中，．
（1）如圖②，將矩形紙片向上方翻折，使點D恰好落在AB邊上的處，壓平折痕交CD于點E，則折痕AE的長為_______________；
（2）如圖③，再將四邊形沿向左翻折，壓平后得四邊形 , 交AE于點F，則四邊形的面積為_______________；
（3）如圖④，將圖②中的繞點E順時針旋轉(zhuǎn) 角，得，使得恰好經(jīng)過頂點B，求弧的長.（結(jié)果保留）
23．(本題滿分12分)某公司欲租賃甲、乙兩種設(shè)備，用來生產(chǎn)A產(chǎn)品80件、B產(chǎn)品100件．已知甲種設(shè)備每天租賃費為400元，每天滿負荷可生產(chǎn)A產(chǎn)品12件和B產(chǎn)品10件；乙種設(shè)備每天租賃費為300元，每天滿負荷可生產(chǎn)A產(chǎn)品7件和B產(chǎn)品10件．
（1）若在租賃期間甲、乙兩種設(shè)備每天均滿負荷生產(chǎn)，則需租賃甲、乙兩種設(shè)備各多少天恰好完成生產(chǎn)任務(wù)？
（2）若甲種設(shè)備最多只能租賃5天，乙種設(shè)備最多只能租賃７天，該公司為確保完成生產(chǎn)任務(wù)，決定租賃這兩種設(shè)備合計10天（兩種設(shè)備的租賃天數(shù)均為整數(shù)），問該公司共有哪幾種租賃方案可供選擇？所需租賃費最少是多少？
24．(本題滿分13分)如圖，將邊長為４的等邊三角形AOB放置于平面直角坐標系中，F(xiàn)是AB邊上的動點（不與端點A、B重合），過點F的反比例函數(shù) 與OA邊交于點E，過點F作軸于點C，連結(jié)EF、OF．
（1）若，求反比例函數(shù)的解析式;
（2）在（1）的條件下，試判斷以點E為圓心，EA長
為半徑的圓與軸的位置關(guān)系，并說明理由;
（3）AB邊上是否存在點F，使得？
若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．
25．(本題滿分14分)如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC與BD交于點 O ，且，
．動點、N分別以每秒１個單位的速度從點A、D同時出發(fā)，分別沿和運動，當點N到達點A時，、N同時停止運動．設(shè)運動時間為t秒．
（1）求菱形ABCD的周長；
（2）記的面積為S, 求S關(guān)于t的解析式，并求S的最大值；
（3）當t=30秒時，在線段OD的垂直平分線上是否存在點P，使得∠DPO＝∠DON？若存在，這樣的點P有幾個？并求出點P到線段OD的距離；若不存在，請說明理由．

2013年龍巖市初中畢業(yè)、升學考試
參考答案及評分標準
數(shù) 學
說明：評分最小單位為1分，若學生解答與本參考答案不同，參照給分．
一、（本大題共10題，每題4分，共40分）
題號12345678910
答案ACDDBCACB B
二、題（本大題共7題，每題3分，共21分．注：答案不正確、不完整均不給分）
11． 12．9 13．8 14．3
15． 16．①④ 17．．
三、解答題（本大題共8題，共89分）
18．(10分，第（1）小題5分，第（2）小題5分)
（1）解：原式= 4分
= 5分
（2）解：方程兩邊同乘（2x+1），得 4=x+2x+12分
3=3x
x=13分
檢驗：把x=1代入2x+1=3≠04分
∴原分式方程的解為x=1.5分
19．（8分）解：原式= 4分
= 6分
當x=2時，原式= .8分
20．(10分)
(1)證明：（法一）如圖：∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AD=BC，AD∥BC，∠3=∠41分

∵∠1=∠3+∠5, ∠2=∠4+∠62分
∠1=∠2
∴∠5=∠63分
∴△ADE≌△CBF 5分
∴AE=CF 6分
（法二）如圖：連接BD交AC于點O1分
在平行四邊形ABCD中
OA=OC，OB=OD2分
∵∠1=∠2,∠7=∠8
∴△BOF≌△DOE4分
∴OE=OF 5分
∴OA－OE=OC－OF
即AE=CF.6分
(2) )證明：（法一）∵∠1=∠2,
∴DE∥BF7分
∵△ADE≌△CBF
∴DE=BF9分
∴四邊形EBFD是平行四邊形.10分
（法二）∵OE=OF，OB=OD9分
∴四邊形EBFD是平行四邊形.10分
其他證法，請參照標準給分.
21．（10分，第（1）小題4分，第（2）小題3分，第（3）小題3分）
（1） 0.11 ， 540 ；（注：每空2分）
（2）；
（3）9000．
22．（12分，每小題4分）
（1） 4分
（2） 8分
（3）∵∠C＝，BC= ，EC＝1
∴tan∠BEC＝ =
∴∠BEC＝ 9分
由翻折可知：∠DEA＝ 10分
∴ ＝ 11分
∴l(xiāng) 12分
23．（12分，第（1）小題5分，第（2）小題7分）
解：（1）設(shè)需租賃甲、乙兩種設(shè)備分別為x、y天．1分
則依題意得 3分
解得 4分
答：需租賃甲種設(shè)備2天、乙種設(shè)備8天. 5分
（2）設(shè)租賃甲種設(shè)備天、乙種設(shè)備(10－ )天，總費用為元．6分

依題意得

∴3≤ ≤5．
∵ 為整數(shù)，
∴ ＝3、4、5．8分
方法一：
∴共有三種方案．
方案（1）甲3天、乙7天，總費用400×3+300×7＝3300;9分
方案（2）甲4天、乙6天，總費用400×4+300×6＝3400;10分
方案（3）甲5天、乙5天，總費用400×5+300×5＝3500. 11分
∵3300 <3400<3500 ∴方案（1）最省，最省費用為3300元．12分

方法二：
則＝400 +300(10－ )＝100 +300010分
∵100＞0，
∴ 隨的增大而增大．
∴當＝3時，＝3300． 11分
答：共有3種租賃方案：①甲3天、乙7天；②甲4天、乙6天；③甲5天、乙5天.最少租賃費用3300元． 12分
方法三：能用窮舉法把各種方案枚舉出來，并得出三種符合條件的方案，求出最省費用的，參照標準酌情給分．
24.（1）設(shè)F（x，y），(x＞0，y＞0) ．
則OC=x, CF=y1分
∴ ．2分
∴xy= ．
∴k= ．3分
∴反比例函數(shù)解析式為y= (x＞0) ．4分
（2）該圓與y軸相離． 5分
理由：過點E作EH⊥x軸，垂足為H，過點E作EG⊥y軸，垂足為G．
在△AOB中，OA=AB=4，∠AOB=∠ABO=∠A= ．
設(shè)OH=,則．
∴EH= ，OE=2．
∴E坐標為（, ）．6分
∵E在反比例y= 圖像上，
∴ = ．
∴1= ， 2=- (舍去)．
∴OE= ，EA= ，EG= 7分
∵ ＜，
∴EA＜EG．
∴以E為圓心，EA垂為半徑的圓與y軸相離． 8分
（3）存在．9分
方法一：假設(shè)存在點F，使AE⊥FE．過點F作FC⊥OB于點 C，過E點作EH⊥OB于點H．
設(shè)BF= x.
∵△AOB是等邊三角形，
∴AB=OA=OB=4，∠AOB=∠ABO=∠A= ．
∴BC=FB•cos∠FBC＝
FC=FB•sin∠FBC=
∴AF=4－x，OC=OB －BC=4－
∵AE⊥FE
∴AE=AF•cos∠A=2－
∴OE=O A－AE= +2
∴OH=OE•cos∠AOB= ，
EH=OE•sin∠AOB=
∴E( , )，F(xiàn)(4－， )11分
∵E、F都在雙曲線y= 的圖象上，
∴（）（）＝（4－）
解得 x 1=4，x2= ．12分
當BF=4時，AF=0，不存在，舍去．
當BF= 時，AF= ，．13分
方法二：假設(shè)存在點F，使AE⊥FE．過E點作EH⊥OB于 H.
∵△AOB是等邊三角形，設(shè)E(, )，則OE=2, AE=4－2．
∴AB=OA=AB=4，∠AOB=∠ABO=∠A= ．
∵ ，
∴AF=2AE=8－4，F(xiàn)B=4－4．
∴FC=FB•sin∠FBC= －， BC=FB•cos∠FBC=2－2．
∴OC=6－2
∴F(6－2, － )．11分
∵E、F都在雙曲線y= 上，
∴• =(6－2)( － )
化簡得：52-16+12=0
解得： 1=2，2= ．12分
當＝2時，AF=8－4=0，BF=4，F(xiàn)與B重合，不合題意，舍去．
當＝時，AF=8－4＝，BF=4－ = ．
∴ ．13分
25. (1)在菱形ABCD中，
∵AC⊥BD
∴AD= =50.
∴菱形ABCD的周長為200.4分
(2) 過點作P⊥AD，垂足為點P.
①當0＜t≤40
∵
∴P=
∴
= 6分
②當40<t ，∴
∵Sin
∴P=
∴
8分
∴
當0＜t≤40時，S隨t的增大而增大，當t＝40時，最大值為480.
當40＜t≤50時，S隨t的增大而減小，當t＝40時，最大值為480.
綜上所述，S的最大值為480. 9分
（3）存在2個點P，使得∠DPO=∠DON. 10分
方法一：過點N作NF⊥OD于點F，
則，DF=
∴OF=12，∴ 11分
作的平分線交NF于點G，過點G作GH⊥ON于點H.
∴
∴FG=
∴
設(shè)OD中垂線與OD的交點為K，由對稱性可知：
∴ 12分
∴
∴PK= 13分
根據(jù)菱形的對稱性可知，在線段OD的下方存在與點P關(guān)于OD軸對稱的點 .
∴存在兩個點P到OD的距離都是 .14分
方法二：如圖，作ON的垂直平分線，交EF于點I，連結(jié)OI，IN.
過點N作NG⊥OD，NH⊥EF,垂足分別為G，H.
當t=30時，DN=OD=30，易知△DNG∽△DAO，
∴ ．
即． ∴NG=24,DG=18．10分
∵EF垂直平分OD，
∴OE= ED＝15，EG=NH=3．11分
設(shè)OI=R，EI=x,則
在Rt△OEI中，有R2=152+x2 ①
在Rt△NIH中，有R2=32+(24-x)2 ②
由①、②可得：
∴PE=PI+IE= ．13分
根據(jù)對稱性可得，在BD下方還存在一個點也滿足條件．
∴存在兩個點P，到OD的距離都是 .14分
(注：只求出一個點P并計算正確的扣1分.)

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