第二十六章二次函數(shù)章末測(cè)試（三）
總分120分120分鐘
一．選擇題（共8小題，每題3分）
1．如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）過(guò)點(diǎn)（1，0）和點(diǎn)（0，?2），且頂點(diǎn)在第三象限，設(shè)P=a?b+c，則P的取值范圍是（ �。�
A． ?4＜P＜0 B． ?4＜P＜?2 C． ?2＜P＜0 D． ?1＜P＜0
2．若一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（?2，0），則拋物線y=ax2+bx的對(duì)稱(chēng)軸為（ �。�
A． 直線x=1 B． 直線x=?2 C． 直線x=?1 D． 直線x=?4
3．二次函數(shù)y=x2?4x+5的最小值是（ �。�
A． ?1 B． 1 C． 3 D． 5
4．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（ �。�
A． a＞0 B． 3是方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根
C． a+b+c=0 D． 當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大 而減小
5．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論正確的是（ �。�
A． a＜0 B． b2?4ac＜0 C． 當(dāng)?1＜x＜3時(shí)，y＞0 D． ?
6．若正比例函數(shù)y=mx（m≠0），y隨x的增大而減小，則它和二次函數(shù)y=mx2+m的圖象大致是（ �。�
A． B． C． D．
7．將拋物線y=3x2向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，所得拋物線為（ �。�
A． y=3（x?2）2?1 B． y=3（x?2）2+1 C． y=3（x+2）2?1 D． y=3（x+2）2+1
8．如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分，其對(duì)稱(chēng)軸為x=?1，且過(guò)點(diǎn)（?3，0）．下列說(shuō)法：①abc＜0；②2a?b=0；③4a+2b+c＜0；④若（?5，y1），（ ，y2）是拋物線上兩點(diǎn)，則
y1＞y2．其中說(shuō)法正確的是（ �。�
A． ①② B． ②③ C． ①②④ D． ②③④
二．填空題（共8小題，每題3分）
9．在平面直角坐標(biāo)系中，把拋物線y=? x2+1向上平移3個(gè)單位，再向左平移1個(gè)單位，則所得拋物線的解析式是 _________�。�
10．已知y=（a+1）x2+ax是二次函數(shù)，那么a的取值范圍是 _________�。�
11．把拋物線y=x2+4x+5改寫(xiě)成y=（x+h）2+k的形式為 _________ ，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為 _________
12．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，給出下列結(jié)論：
①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若?1＜m＜n＜1，則m+n＜? ；④3|a|+|c|＜2|b|．
其中正確的結(jié)論是 _________ （寫(xiě)出你認(rèn)為正確的所有結(jié)論序號(hào)）．
13．如圖，拋物線的頂點(diǎn)為P（?2，2），與y軸交于點(diǎn)A（0，3）．若平移該拋物線使其頂點(diǎn)P沿直線移動(dòng)到點(diǎn)P′（2，?2），點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，則拋物線上PA段掃過(guò)的區(qū)域（陰影部分）的面積為 _________�。�
14．已知二次函數(shù)的y=ax2+bx+c（a≠0）圖象如圖所示，有下列5個(gè)結(jié)論：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的實(shí)數(shù)），其中正確結(jié)論的番號(hào)有 _________�。�
三．解答題（共10小題）
15（6分）．已知 是x的二次函數(shù)，求出它的解析式．
16．（6分）如果函數(shù)y=（m?3） +mx+1是二次函數(shù)，求m的值．
17．（6分）已知二次函數(shù)y= ．
（1）用配方法求出該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸；
（2）在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出該函數(shù)的大致圖象．
18．（8分）已知
（1）把它配方成y=a（x?h）2+k形式，寫(xiě)出它的開(kāi)口方向、頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）作出函數(shù)圖象；（填表描出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)）
（3）結(jié)合圖象回答：當(dāng)x取何值，y＞0，y=0，y＜0．
19．（8分）已知二次函數(shù)y=x2+bx+c中函數(shù)y與自變量x之間的部分對(duì)應(yīng)值如下表所示，點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）在函數(shù)圖象上，當(dāng)0＜x1＜1，2＜x2＜3時(shí)，則y1 _________ y2（填“＞”或“＜”）．
x … 0 1 2 3 …
y … 1 ?2 ?3 ?2 …
20．如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（?1，0）和B（3，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)E．
（1）求此拋物線的解析式．
（2）若直線y=x+1與拋物線交于A、D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)F，連接DE，求△DEF的面積．
20（8分）．如圖，二次函數(shù)y=ax2?4x+c的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)A（?4，0）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）在拋物線上存在點(diǎn)P，滿足S△AOP=8，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
21．（8分）在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是BC上的任意一點(diǎn)（P與B、C不重合），過(guò)點(diǎn)P作AP⊥PE，垂足為P，PE交CD于點(diǎn)E．
（1）連接AE，當(dāng)△APE與△ADE全等時(shí)，求BP的長(zhǎng)；
（2）若設(shè)BP為x，CE為y，試確定y與x的函數(shù)關(guān)系式．當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大？最大值是多少？
（3）若PE∥BD，試求出此時(shí)BP的長(zhǎng)．
22．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿B→C→A方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，當(dāng)一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
（1）求AC、BC的長(zhǎng)；
（2）設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（秒），△PBQ的面積為y（cm2），當(dāng)△PBQ存在時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在CA上運(yùn)動(dòng)，使PQ⊥AB時(shí)，以點(diǎn)B、P、Q為定點(diǎn)的三角形與△ABC是否相似，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）當(dāng)x=5秒時(shí) ，在直線PQ上是否存在一點(diǎn)M，使△BCM得周長(zhǎng)最��？若存在，求出最小周長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
23．（10分）如圖，拋物線y=x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（?4，?3），與y軸交于點(diǎn)B，對(duì)稱(chēng)軸是x=?3，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
（1）求拋物線的解析式．
（2）若和x軸平行的直線與拋物線交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)C在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，且CD=8，求△BCD的面積．
注：拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱(chēng)軸是x=? ．
24．（10分）如圖①，已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3），B（3，0），C（4，3）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸；
（3）把拋物線向上平移，使得頂點(diǎn)落在x軸上，直接寫(xiě)出兩條拋物線、對(duì)稱(chēng)軸和y軸圍成的圖形的面積S（圖②中陰影部分）．
第二十六章二次函數(shù)章末測(cè)試（三）
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
1．如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）過(guò)點(diǎn)（1，0）和點(diǎn)（0，?2），且頂點(diǎn)在第三象限，設(shè)P=a?b+c，則P的取值范圍是（ ）
A． ?4＜P＜0 B． ?4＜P＜?2 C． ?2＜P＜0 D． ?1＜P＜0
考點(diǎn)： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
專(zhuān)題： 壓軸題．
分析： 求出a＞0，b＞0，把 x=1代入求出a=2?b，b=2?a，把x=?1代入得出y=a?b+c=2a?4，求出2a?4的范圍即可．
解答： 解：∵二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，
∴a＞0，
∵對(duì)稱(chēng)軸在y軸的左邊，
∴? ＜0，
∴b＞0，
∵圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，?2），過(guò)（1，0）點(diǎn)，
代入得：a+b?2=0，
∴a=2?b，b=2?a，
∴y=ax2+（2?a）x?2，
把x=?1代入得：y=a?（2?a）?2=2a?4，
∵b＞0，
∴b=2?a＞0，
∴a＜2，
∵a＞0，
∴0＜a＜2，
∴0＜2a＜4，
∴?4＜2a?4＜0，
即?4＜P＜0，
故選A．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，當(dāng)a＞0，拋物線開(kāi)口向上；對(duì)稱(chēng)軸為直線x=? ；拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）．
2．若一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（?2，0），則拋物線y=ax2+bx的對(duì)稱(chēng)軸為（ �。�
A． 直線x=1 B． 直線x=?2 C． 直線x=?1 D． 直線x=?4
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．
分析： 先將（?2，0）代入一次函數(shù)解析式y(tǒng)=ax+b，得到?2a+b=0，即b=2a，再根據(jù)拋物線y=ax2+bx的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=? 即可求解．
解答： 解：∵一次函數(shù)y= ax+b（a≠0）的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（?2，0），
∴?2a+b=0，即b=2a，
∴拋物線y=ax2+bx的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=? =?1．
故選C．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及二次函數(shù)的性質(zhì)，難度適中．用到的知識(shí)點(diǎn)：
點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)的解析式；
二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=? ．
3．二 次函數(shù)y=x2?4x+5的最小值是（ �。�
A． ?1 B． 1 C． 3 D． 5
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的最值．
分析： 先利用配方法將二次函數(shù)的一般式y(tǒng)=x2?4x+5變形為頂點(diǎn)式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出其最小值．
解答： 解：配方得：y=x2?4x+5=x2?4x+22+1=（x?2）2+1，
當(dāng)x=2時(shí)，二次函數(shù)y=x2?4x+5取得最小值為1．
故選B．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)最值的求法，求二次函數(shù)的最大（�。┲涤腥N方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法．
4．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（ �。�
A． a＞0 B． 3是方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根
C． a+b+c=0 D． 當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而減小
考點(diǎn)： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)的性質(zhì)．
專(zhuān)題： 壓軸題．
分析： 根據(jù)拋物線的開(kāi)口方向可得a＜0，根據(jù)拋物線對(duì)稱(chēng)軸可得方程ax2+bx+c=0的根為x=?1，x=3；根據(jù)圖象可得x=1時(shí)，y＞0；根據(jù)拋物線可直接得到x＜1時(shí)，y隨x的增大而增大．
解答： 解：A、因?yàn)閽佄锞�開(kāi)口向下，因此a＜0，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸為x=1，一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（?1，0）可得另一個(gè)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）因此3是方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根，故此選項(xiàng)正確；
C、把x=1代入二次函數(shù)y=ax2+bx+c（ a≠0）中得：y=a+b+c，由圖象可得，y＞0，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而增大，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：B．
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是從拋物線中的得到正確信息．
①二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大小．
當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口；IaI還可以決定開(kāi)口大小，IaI越大開(kāi)口就越�。�
②一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱(chēng)軸的位置．
當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱(chēng)軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱(chēng)軸在y軸右．（簡(jiǎn)稱(chēng)：左同右異）
③常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)． 拋物線與y軸交于（0，c）．
④拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)．△=b2?4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b2?4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b2?4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．
5．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論正確的是（ �。�
A． a＜0 B． b2?4ac＜0 C． 當(dāng)?1＜x＜3時(shí)，y＞0 D． ?
考點(diǎn)： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
專(zhuān)題： 壓軸題；存在型．
分析： 根據(jù)二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．
解答： 解：A、∵拋物線的開(kāi)口向上，∴a＞0，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、∵拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴△=b2?4ac＞0，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、由函數(shù)圖象可知，當(dāng)?1＜x＜3時(shí)，y＜0，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、∵拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別是（?1，0），（3，0），∴對(duì)稱(chēng)軸x=? = =1，故本選項(xiàng)正確．
故選D．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，能利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．
6．若正比例函數(shù)y=mx（m≠0），y隨x的增大而減小，則它和二次函數(shù)y=mx2+m的圖象大致是（ ）
A． B． C． D．
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的圖象；正比例函數(shù)的圖象．
專(zhuān)題： 壓軸題．
分析： 根據(jù)正比例函數(shù)圖 象的性質(zhì)確定m＜0，則二次函數(shù)y=mx2+m的圖象開(kāi)口方向向下，且與y軸交于負(fù)半軸．
解答： 解：∵正比例函數(shù)y=mx（m≠0），y隨x的增大而減小，
∴該正比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限，且m＜0．
∴二次函數(shù)y=mx2+m的圖象開(kāi)口方向向下，且與y軸交于負(fù)半軸．
綜上所述，符合題意的只有A選項(xiàng)．
故選A．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)圖象、正比例函數(shù)圖象．利用正比例函數(shù)的性質(zhì)，推知m＜0是解題的突破口．
7．將拋物線y=3x2向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，所得拋物線為（ ）
A． y=3（x?2）2?1 B． y=3（x?2）2+1 C． y=3（x+2）2?1 D． y=3（x+2）2+1
考點(diǎn)： 二次函數(shù)圖象與幾何變換．
專(zhuān)題： 壓軸題．
分析： 先求出平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再利用頂點(diǎn)式寫(xiě)出拋物線解析式即可．
解答： 解：拋物線y=3x2向左平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位后的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（?2，?1），
所得拋物線為y=3（x+2）2?1．
故選C．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，求出平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
8．如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分，其對(duì)稱(chēng)軸為x=?1，且過(guò)點(diǎn)（?3，0）．下列說(shuō)法：①abc＜0；②2a?b=0；③4a+2b+c＜0；④若（?5，y1），（ ，y2）是拋物線上兩點(diǎn)，則
y1＞y2．其中說(shuō)法正確的是（ �。�
A． ①② B． ②③ C． ①②④ D． ②③④
考點(diǎn)： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
專(zhuān)題： 壓軸題．
分析： 根據(jù)圖象得出a＞0，b=2a＞0，c＜0，即可判斷①②；把x=2代入拋物線的解析式即可判斷③，求出點(diǎn)（?5，y1）關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，y1），根據(jù)當(dāng)x＞?1時(shí)，y隨x的增大而增大即可判斷④．
解答： 解：∵二次函數(shù)的圖象的開(kāi)口向上，
∴a＞0，
∵二次函數(shù)的圖象y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，
∴c＜0，
∵二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=?1，
∴? =?1，
∴b=2a＞0，
∴abc＜0，∴①正確；
2a?b=2a?2a=0，∴②正確；
∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分，其對(duì)稱(chēng)軸為x=?1，且過(guò)點(diǎn)（?3，0）．
∴與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，0），
∴把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c＞0，∴③錯(cuò)誤；
∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x=?1，
∴點(diǎn) （?5，y1）關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，y 1），
根據(jù)當(dāng)x＞?1時(shí)，y隨x的增大而增大，
∵ ＜3，
∴y2＜y1，∴④正確；
故選C．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，題目比較典型，主要考查學(xué)生的理解能力和辨析能力．
二．填空題（共8小題）
9．在平面直角坐標(biāo)系中，把拋物線y=? x2+1向上平移3個(gè)單位，再向左平移1個(gè)單位，則所得拋物線的解析式是 y=? （x+1）2+4�。�
考點(diǎn)： 二次函數(shù)圖象與幾何變換．
分析： 先求出原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)向左平移橫坐標(biāo)減，向上平移縱坐標(biāo)加求出平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后寫(xiě)出拋物線解析式即可．
解答： 解：∵拋物線y=? x2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），
∴向上平移3個(gè)單位，再向左平移1個(gè)單位后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（?1，4），
∴所得拋物線的解析式為y=? （x+1）2+4．
故答案為y=? （x+1）2+4．
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查的了二次函數(shù)圖象與幾何變換，利用頂點(diǎn)坐標(biāo)的平移確定函數(shù)圖象的平移可以使求解更簡(jiǎn)便，平移規(guī)律“左加右減，上加下減”．
10．已知y=（a+1）x2+ax是二次函數(shù)，那么a的取值范圍是 a≠?1�。�
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的定義．
分析： 根據(jù)二次函數(shù)的定義條件列出不等式求解即可．
解答： 解：根據(jù)二次函數(shù)的定義可得a+1≠0，
即a≠?1．
故a的取值范圍是a≠?1．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查二次函數(shù)的定義．
11．把拋物線y=x2+4x+5改寫(xiě)成y=（x+h）2+k的形式為 頂點(diǎn)式 ，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為�。�?h，k）�。�
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的三種形式．
專(zhuān)題： 數(shù)形結(jié)合．
分析： 從拋物線的一般式到頂點(diǎn)式 ，則頂點(diǎn)為相應(yīng)為括號(hào)內(nèi)常數(shù)項(xiàng)的相反數(shù)為橫坐標(biāo)，最后的常數(shù)項(xiàng)即為坐標(biāo)的縱坐標(biāo)．
解答： 解：由題意知頂點(diǎn)式體現(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)，
所以填：頂點(diǎn)式，
由題意知：坐標(biāo)為（?h，k）
故答案為頂點(diǎn)式，（?h，k）．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，從拋物線的一般式開(kāi)始，則頂點(diǎn)式即為括號(hào)內(nèi)橫坐標(biāo)的相反數(shù)，縱坐標(biāo)即為函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)．
12．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，給出下列結(jié)論：
①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若?1＜m＜n＜1，則m+n＜? ；④3|a|+|c|＜2|b|．
其中正確的結(jié)論是�、佗邰堋。▽�(xiě)出你認(rèn)為正確的所有結(jié)論序號(hào)）．
考點(diǎn)： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
專(zhuān)題： 壓軸題．
分析： 分別根據(jù)二次函數(shù)開(kāi)口方向以及對(duì)稱(chēng)軸位置和圖象與y軸交點(diǎn)得出a，b，c的符號(hào)，再利用特殊值法分析得出各選項(xiàng)．
解答： 解：∵拋物線開(kāi)口向下，∴a＜0，∴2a＜0，
對(duì)稱(chēng)軸x=? ＞1，?b＜2a，∴2a+b＞0，故選項(xiàng)①正確 ；
∵?b＜2a，∴b＞?2a＞0＞a，
令拋物線解析式為y=? x2+bx? ，
此時(shí)a=c，欲使拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為 和2，
則 =? ，
解得：b= ，
∴拋物線y=? x2+ x? ，符合“開(kāi)口向下，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在0 與1之間，
對(duì)稱(chēng)軸在直線x=1右側(cè)”的特點(diǎn)，而此時(shí)a=c，（其實(shí)a＞c，a＜c，a=c都有可能），
故②選項(xiàng)錯(cuò)誤；
∵?1＜m＜n＜1，?2＜m+n＜2，
∴拋物線對(duì)稱(chēng)軸為：x=? ＞1， ＞2，m+n ，故選項(xiàng)③正確；
當(dāng)x=1時(shí)，a+b+c＞0，2a+b＞0，3a+2b+c＞0，
∴3a+c＞?2b，∴?3a?c＜2b，
∵a＜0，b＞0，c＜0，
∴3|a|+|c|=?3a?c＜2b=2|b|，故④選項(xiàng)正確．
故答案為：①③④．
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，利用特殊值法求出m+n的取值范圍是解題關(guān)鍵．
13．如圖，拋物線的頂點(diǎn)為P（?2，2），與y軸交于點(diǎn)A（0，3）．若平移該拋物線使其頂點(diǎn)P沿直線移動(dòng)到點(diǎn)P′（2，?2），點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，則拋物線上PA段掃過(guò)的區(qū)域（陰影部分）的面積為 12�。�
考點(diǎn)： 二次函數(shù)圖象與幾何變換．
專(zhuān)題： 壓軸題．
分析： 根據(jù)平移的性質(zhì)得出四邊形APP′A′是平行四邊形，進(jìn)而得出AD，PP′的長(zhǎng)，求出面積即可．
解答： 解：連接AP，A′P′，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥PP′于點(diǎn)D，
由題意可得出：AP∥A′P′，AP=A′P′，
∴四邊形APP′A′是平行四邊形，
∵拋物線的頂點(diǎn)為P（?2，2），與y軸交于點(diǎn)A（0，3），平移該拋物線使其頂點(diǎn)P沿直線移動(dòng)到點(diǎn)P′（2，?2），
∴PO= =2 ，∠AOP=45°，
∴PP′= 2 ×2=4 ，
∴AD=DO= ×3= ，
∴拋物線上PA段掃過(guò)的區(qū)域（陰影部分）的面積為：4 × =12．
故答案為：12．
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換以及平行四邊形面積求法和勾股定理等知識(shí)，根據(jù)已知得出AD，PP′是解題關(guān)鍵．
14．已知二次函數(shù)的y=ax2+bx+c（a≠0）圖象如圖所示，有下列5個(gè)結(jié)論：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的實(shí)數(shù)），其中正確結(jié)論的番號(hào)有�、佗邰堋。�
考點(diǎn)： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
專(zhuān)題： 壓軸題．
分析： 由拋物線的開(kāi)口方向判斷a的符號(hào)，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c的符號(hào)，然后根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．
解答： 解：①由圖象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故此選項(xiàng)正確；
②當(dāng)x=?1時(shí)，y=a?b+c＜0，即b＞a+c，錯(cuò)誤；
③由對(duì)稱(chēng)知，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)值大于0，即y=4a+2b+c＞0，故此選項(xiàng)正確；
④當(dāng)x=3時(shí)函數(shù)值小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=? =1，
即a=? ，代入得9（? ）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此選項(xiàng)正確；
⑤當(dāng)x=1時(shí)，y的值最大．此時(shí)，y=a+b+c，
而當(dāng)x=m時(shí)，y=am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c，
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故①③④正確．
故答案為：①③④．
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，二次函數(shù)y=ax2+bx+c系數(shù)符號(hào)由拋物線開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸和拋物線與y軸的交點(diǎn)、拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定．
三．解答題（共11小題）
15．已知 是x的二次函數(shù)，求出它的解析式．
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的定義．
分析： 根據(jù)二次函數(shù)的定義列出不等式求解即可．
解答： 解：根據(jù)二次函數(shù)的定義可得：m2?2m?1=2，且m2?m≠0，
解得，m=3或m=?1；
當(dāng)m=3時(shí)，y=6x2+9；
當(dāng)m=?1時(shí)，y=2x2?4x+1；
綜上所述，該二次函數(shù)的解析式為：y=6x2+9或y=2x2?4x+1．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查二次函數(shù)的定義．一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)．y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）也叫做二次函數(shù)的一般形式．
16．如果函數(shù)y=（m?3） +mx+1是二次函數(shù)，求m的值．
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的定義．
專(zhuān)題： 計(jì)算題．
分析： 根據(jù)二次函數(shù)的定義：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，即可答題．
解答： 解：根據(jù)二次函數(shù)的定義：m2?3m+2=2，且m?3≠0，
解得：m=0．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題，比較簡(jiǎn)單，關(guān)鍵是對(duì)二次函數(shù)定義的掌握．
17．已知二次函數(shù)y= ．
（1）用配方法求出該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸；
（2）在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出該函數(shù)的大致圖象．
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的圖象；二次函數(shù)的三種形式．
分析： （1）利用配方法求出二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）把握拋物線與x軸，y軸的交點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)，開(kāi)口方向等畫(huà)出圖象即可．
解答： 解：（1）
y=
=? （x2?6x）?
=? （x2?6x+9?9）?
=? （x?3）2+2，
故頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）和對(duì)稱(chēng)軸為直線x=3；
（2）當(dāng)y=0，則0=? （x?3 ）2+2，解得：x=1或x=5，則圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，0），（5，0），
當(dāng)x=0，則y=? ，則圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，? ），如圖所示：
．
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了配方法求二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，此題是二次函數(shù)的基本性質(zhì)也是考查重點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)熟練掌握．
18．已知
（1）把它配方成y=a（x?h）2+k形式，寫(xiě)出它的開(kāi)口方向、頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）作出函數(shù)圖象；（填表描出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)）
（3）結(jié)合圖象回答：當(dāng)x取何值，y＞0，y=0，y＜0．
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的三種形式；二次函數(shù)的圖象．
分析： （1）根據(jù)配方法求出二次函 數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）由坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求出函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)以及（1）中拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)描出各點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù)圖象；
（3）根據(jù)（2）中函數(shù)圖象直接得出結(jié)論．
解答： 解：（1）∵y=? x2+2x+6=? （x2?4x）+6=? （x?2）2+8，
∴對(duì)稱(chēng)軸是直線x=2，
拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)M為（2，8）；
（2）令x=0，則y=6；
令y=0，則x2+2x?3=0，
∴拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是（0，6），（?2，0），（6，0）；
函數(shù)圖象如圖所示；
（3）由函數(shù)圖象可知，當(dāng)?2＜x＜6時(shí)，y＞0；當(dāng)x=?2或6時(shí)，y=0，
當(dāng)?2＞x或x＞6時(shí)，y＜0．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象及二次函數(shù)與不等式，在解答此題時(shí)要注意利用數(shù)形結(jié)合求不等式的解集．
19．已知二次函數(shù)y=x2+bx+c中函數(shù)y與自變量x之間的部分對(duì)應(yīng)值如下表所示，點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）在函數(shù)圖象上，當(dāng)0＜x1＜1，2＜x2＜3時(shí)，則y1�。尽2（填“＞”或“＜”）．
x … 0 1 2 3 …
y … 1 ?2 ?3 ?2 …
考點(diǎn)： 二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．
分析： 由二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性知，圖表可以體現(xiàn)出二次函數(shù) y=ax2+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸和開(kāi)口方向，然后由二次函數(shù)的單調(diào)性解答．
解答： 解：根據(jù)圖表知，
當(dāng)x=1和x=3時(shí)，所對(duì)應(yīng)的y值都是?2，∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=2，
又∵當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x＜2時(shí)，y隨x的增大而減小，
∴該二次函數(shù)的圖象的開(kāi)口方向是向上；
∵0＜x1＜1，2＜x2＜3，
0＜x1＜1關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在3和4之間，
當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大，
∴y1＞y2，
故答案是：y1＞y2．
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性判斷兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的大小是解此題的關(guān)鍵．
15．如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（?1，0）和B（3，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)E．
（1）求此拋物線的解析式．
（2）若直線y=x+1與拋物線交于A、D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)F，連接DE，求△DEF的面積．
考點(diǎn)： 待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的性質(zhì)．
分析： （1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；
（2）首先求出直線與二次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而得出E，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出△DEF的面積．
解答： 解：（1）∵拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（?1，0）和B（3，0）兩點(diǎn)，
∴ ，
解得： ，
故拋物線解析式為 ：y=x2?2x?3；
（2）根據(jù)題意得：
，
解得： ， ，
∴D（4，5），
對(duì)于直線y=x+1，當(dāng)x=0時(shí)，y=1，∴F（0，1），
對(duì)于y=x2?2x?3，當(dāng)x=0時(shí)，y=?3，∴E（0，?3），
∴EF=4，
過(guò)點(diǎn)D作DM⊥y軸于點(diǎn)M．
∴S△DEF= EF•DM=8．
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及三角形面積求法等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合得出D，E，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．
20．如圖，二次函數(shù)y=ax2?4x+c的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)A（?4，0）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）在拋物線上存在點(diǎn)P，滿足S△AOP=8，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
考點(diǎn)： 待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．
分析： （1）把點(diǎn)A原點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）根據(jù)三角形的面積公式求出點(diǎn)P到AO的距離，然后分點(diǎn)P在x軸的上方與下方兩種情況解答即可．
解答： 解：（1）由已知條件得 ，
解得 ，
所以，此二次函數(shù)的解析式為y=?x2?4x；
（2）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（?4，0），
∴AO=4，
設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為h，
則S△AOP= ×4h=8，
解得h=4，
①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，?x2?4x=4，
解得x=?2，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（?2，4），
②當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，?x2?4x=? 4，
解得x1=?2+2 ，x2=?2?2 ，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（?2+2 ，?4）或（?2?2 ，?4），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（?2，4）、（?2+2 ，?4）、（?2?2 ，?4）．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，（2）要注意分點(diǎn)P在x軸的上 方與下方兩種情況討論求解．
21．在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是BC上的任意一點(diǎn)（P與B、C不重合），過(guò)點(diǎn)P作AP⊥PE，垂足為P，PE交CD于點(diǎn)E．
（1）連接AE，當(dāng)△APE與△ADE全等時(shí)，求BP的長(zhǎng)；
（2）若設(shè)BP為x，CE為y，試確定y與x的函數(shù)關(guān)系式．當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大？最大值是多少？
（3）若PE∥BD，試求出此時(shí)BP的長(zhǎng)．
考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì)；一元二次方程的應(yīng)用；二次函數(shù)的最值；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；矩形的性質(zhì)．
專(zhuān)題： 代數(shù)幾何綜合題；壓軸題．
分析： （1）根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等知AP=AD=3；然后在Rt△ABP中利用勾股定理可以求得BP的長(zhǎng)度；
（2）根據(jù)相似三角形Rt△ABP∽R(shí)t△PCE的對(duì)應(yīng)邊成比例列出關(guān)于x、y的方程，通過(guò)二次函數(shù)的最值的求法來(lái)求y的最大值；
（3）如圖，連接BD．利用（2）中的函數(shù)關(guān)系式設(shè)BP=x，則CE= ，然后根據(jù)相似三角形△CPE∽△CBD的對(duì)應(yīng)邊成比例列出關(guān)于x的一元二次方程，通過(guò)解該方程即可求得此時(shí)BP的長(zhǎng)度．
解答： 解：（1）∵△APE≌△ADE（已知），AD=3（已知），
∴AP=AD=3（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等 ）；
在Rt△ABP中，BP= = = （勾股定理）；
（2）∵AP⊥PE（已知），
∴∠APB+∠CPE=∠CPE+∠PEC=90°，
∴∠APB=∠PEC，
又∵∠B=∠C=90°，
∴Rt△ABP∽R(shí)t△PCE，
∴ 即 （相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例），
∴ =
∴當(dāng)x= 時(shí)，y有最大值，最大值是 ；
（3）如圖，連接BD．設(shè)BP=x，
∵PE∥BD，
∴△CPE∽△CBD，
∴ （相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例），
即
化簡(jiǎn)得，3x2?13x+12=0
解得，x1= ，x2=3（不合題意，舍去），
∴當(dāng)BP= 時(shí)，PE∥BD．
點(diǎn)評(píng)： 本題綜合考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、二次函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn)．本題中求二次函數(shù)的最值時(shí)，采用了配方法．
22．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿B→C→A方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，當(dāng)一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
（1）求AC、BC的長(zhǎng)；
（2）設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（秒），△PBQ的面積為y（cm2），當(dāng)△PBQ存在時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在C A上運(yùn)動(dòng)，使PQ⊥AB時(shí)，以點(diǎn)B、P、Q為定點(diǎn)的三角形與△ABC是否相似，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）當(dāng)x=5秒時(shí)，在直線PQ上是否存在一點(diǎn)M，使△BCM得周長(zhǎng)最��？若存在，求出最小周長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；勾股定理．
專(zhuān)題： 壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型．
分析： （1）由在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，設(shè)AC=4y，BC=3y，由勾股定理即可求得AC、BC的長(zhǎng)；
（2）分別從當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AB于H與當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QH′⊥AB于H′去分析，首先過(guò)點(diǎn)Q作AB的垂線，利用相似三角形的性質(zhì)即可求得△PBQ的底與高，則可求得y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）由PQ⊥AB，可得△APQ∽△ACB，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得△PBQ各邊的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的判定，即可得以點(diǎn)B、P、Q為定點(diǎn)的三角形與△ABC不相似；
（4）由x=5秒，求得AQ與AP的長(zhǎng)，可得PQ是△ABC的中位線，即可得PQ是AC的垂直平分線，可得當(dāng)M與P重合時(shí)△BCM得周長(zhǎng)最小，則可求得最小周長(zhǎng)的值．
解答： 解：（1）設(shè)AC=4ycm，BC=3ycm，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即：（4y）2+（3y）2=102，
解得：y=2，
∴AC=8cm，BC=6cm；
（2）①當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AB于H，
∵AP=xcm，
∴BP=（10?x）cm，BQ=2xcm，
∵△QHB∽△ACB，
∴ ，
∴QH= xcm，
y= BP•QH= （10?x）• x=? x2+8x（0＜x≤3），
②當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QH′⊥AB于H′，
∵AP=xcm，
∴BP=（10?x）cm，AQ=（14?2x）cm，
∵△AQH′∽△ABC，
∴ ，
即： = ，
解得：QH′= （14?2x）cm，
∴y= PB•QH′= （10?x）• （14?2x）= x2? x+42（3＜x＜7）；
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y= ；
（3）∵AP=xcm，AQ=（14?2x）cm，
∵PQ⊥AB，
∴△APQ∽△ACB，
∴ = ，
即： = ，
解得：x= ，PQ= ，
∴PB=10?x= cm，
∴ = = ≠ ，
∴當(dāng)點(diǎn)Q在CA上運(yùn)動(dòng)，使PQ⊥AB時(shí)，以點(diǎn)B、P、Q為定點(diǎn)的三角形與△ABC不相似；
（4）存在．
理由：∵AQ=14?2x=14?10=4cm，AP=x=5cm，
∵AC=8cm，AB=10cm，
∴PQ是△ABC的中位線，
∴PQ∥BC，
∴PQ⊥AC，
∴PQ是AC的垂直平分線，
∴PC=AP=5cm，
∵AP=CP，
∴AP+BP=AB，
∴AM+BM=AB，
∴當(dāng)點(diǎn)M與P重合時(shí)，△BCM的周長(zhǎng)最小，
∴△BCM的周長(zhǎng)為：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16cm．
∴△BCM的周長(zhǎng)最小值為16cm．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及最短距離問(wèn)題．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
23．如圖，拋物線y=x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（?4，?3），與y軸交于點(diǎn)B，對(duì)稱(chēng)軸是x=?3，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
（1）求拋物線的解析式．
（2 ）若 和x軸平行的直線與拋物線交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)C在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，且CD=8，求△BCD的面積．
注：拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱(chēng)軸是x=? ．
考點(diǎn)： 待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的性質(zhì)．
分析： （1）把點(diǎn)A（?4，?3）代入y=x2+bx+c得16?4b+c=?3，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸是x=?3，求出b=6，即可得出答案，
（2）根據(jù)CD∥x軸，得出點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x=?3對(duì)稱(chēng)，根據(jù)點(diǎn)C在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，且CD=8，求出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，5），求出△BCD中CD邊上的高，即可求出△BCD的面積．
解答： 解：（1）把點(diǎn)A（?4，?3）代入y=x2+bx+ c得：
16?4b+c=?3，
c?4b=?19，
∵對(duì)稱(chēng)軸是x=?3，
∴? =?3，
∴b=6，
∴c=5，
∴拋物線的解析式是y=x2+6x+5；
（2）∵CD∥x軸，
∴點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x=?3對(duì)稱(chēng)，
∵點(diǎn)C在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，且CD=8，
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為?7，
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為（?7）2+6×（?7）+5=12，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，5），
∴△BCD中CD邊上的高為12?5=7，
∴△BCD的面積= ×8×7=28．
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想 的應(yīng)用．
2．如圖①，已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3），B（3，0），C（4，3）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸；
（3）把拋 物線向上平移，使得頂點(diǎn)落在x軸上，直接寫(xiě)出兩條拋物線、對(duì)稱(chēng)軸和y軸圍成的圖形的面積S（圖②中陰影部分）．
考點(diǎn)： 待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象與幾何變換．
專(zhuān)題： 壓軸題．
分析： （1）把點(diǎn)A、B、C代入拋物線解析式y(tǒng)=ax2+bx+c利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）把拋物線解析式整理成頂點(diǎn)式形式，然后寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱(chēng)軸即可；
（3）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)求出向上平移的距離，再根據(jù)陰影部分的面積等于平行四邊形的面積，列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．
解答： 解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3），B（3，0），C（4，3），
∴ ，
解得 ，
所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x2?4x+3 ；
（2）∵y=x2?4x+3=（x?2）2?1，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，?1），對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2；
（3）如圖，∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，?1），
∴PP′=1，
陰影部分的面積等于平行四邊形A′APP′的面積，
平行四邊形A′APP′的面積=1×2=2，
∴陰影部分的面積=2．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與幾何變換，（3）根據(jù)平移的性質(zhì)，把陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為平行四邊形的面積是解題的關(guān)鍵．
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