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在人教版《普通高中實驗教科書?數(shù)學4?必修（A版）》（簡稱“人教A版”）中，三角函數(shù)采用了如下定義（簡稱“單位圓定義法”）：

“如圖1，設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么：

（1）y叫做α的正弦，記作sinα，即sinα=y；

（2）x叫做α的余弦，記作cosα，即cosα=x；

（3）叫做α的正切，記作tanα，即tanα=（x≠0）．

可以看出，當α=(k∈Z)時，α的終邊在y軸上，這時點P的橫坐標x等于0，所以無意義．除此之外，對于確定的角α，上述三個值都是唯一確定的．所以，正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)．”

1．部分教師的疑惑和意見

由于種種原因，實驗區(qū)有的教師對上述定義不理解，認為該定義不如以往教材采用的定義，即在角α的終邊上任取一點P(x，y)，P到原點的距離為r，比值，，分別定義為角α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)（簡稱“終邊定義法”）．其理由主要有以下幾點：

第一，“單位圓定義法”中，“交點是特殊的，缺乏一般性，不符合數(shù)學定義的要求”；“終邊定義法”中，“所取得點是任意的，具有一般性，符合數(shù)學定義的要求”．有的老師說，“單位圓上的點畢竟是特殊點，用它定義三角函數(shù)有失一般性”．

第二，“單位圓定義法”不利于將銳角三角函數(shù)推廣到任意角三角函數(shù)；“終邊定義法”有利于這種推廣．有的老師說，“用單位圓上點的坐標定義正弦、余弦函數(shù)帶來了不少便利，其根本原因是它化簡了三角函數(shù)的比值．而用單位圓上點的坐標定義正切函數(shù)，由于它未能化簡三角函數(shù)的比值，所以它就沒有什么特別的意義．”

第三，“單位圓定義法”不利于解題．有的老師說，在解“已知角α終邊上一點的坐標是（3a,4a）,求角α的三角函數(shù)值”時，用“終邊定義法”非常方便，而用“單位圓定義法”很不方便．

為了解答老師們的疑問，我們首先從回顧三角函數(shù)的發(fā)展歷史開始．

2．對三角函數(shù)發(fā)展歷史的簡單回顧

回顧三角學發(fā)展史，可以發(fā)現(xiàn)它的起源、發(fā)展與天文學密不可分，它是一種對天文觀察結果進行推算的方法．1450年以前，三角學主要是球面三角，這是航海、立法推算以及天文觀測等人類實踐活動的需要，同時也是宇宙的奧秘對人類的巨大吸引力所至，這種“量天的學問”確實太誘人了．后來，由于間接測量、測繪工作的需要而出現(xiàn)了平面三角．

三角學從天文學中獨立出來的標志是德國數(shù)學家雷格蒙塔努斯（J. Regiomontanus，1436―1476）于1464年出版《論各種三角形》，這部著作首次對三角學做出了完整、獨立的闡述．其中采用印度人的正弦，即圓弧的半弦，明確使用了正弦函數(shù)，討論了一般三角形的正弦定理，提出了求三角形邊長的代數(shù)解法，給出了球面三角的正弦定理和關于邊的余弦定理．這部著作為三角學在平面與球面幾何中的應用奠定了牢固基礎．后來，哥白尼的學生雷提庫斯（G. J. Rhaeticus，1514―1576）將傳統(tǒng)的圓中的弧與弦的關系改進為角的三角函數(shù)關系，把三角函數(shù)定義為直角三角形的邊長之比，從而使平面三角學從球面三角學中獨立出來，并采用了六個函數(shù)（正弦、余弦、正切、余切、正割、余割）．法國數(shù)學家韋達（F. Vieta，1540―1603）總結了前人的三角學研究成果，將解平面直角三角形和斜三角形的公式匯集在一起，還補充了自己發(fā)現(xiàn)的新公式，如正切公式、和差化積公式等，并將解斜三角形的問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題等，這是對三角學的進一步系統(tǒng)化．總之，16世紀，三角學從天文學中分離出來，成為數(shù)學的一個獨立分支．不過，值得注意的是，這時所討論的“三角函數(shù)”僅限于銳角三角函數(shù)，而且研究銳角三角函數(shù)的目的在于解三角形和三角計算．

任意角的三角函數(shù)的研究，與圓周運動的研究有直接關系．17世紀，“數(shù)學從運動的研究中引出了一個基本概念．在那以后的二百年里，這個概念在幾乎所有的工作中占中心位置，這就是函數(shù)──或變量間的關系──的概念．” “正弦、余弦函數(shù)是一對起源于圓周運動，密切配合的周期函數(shù)，它們是解析幾何學和周期函數(shù)的分析學中最為基本和重要的函數(shù)；而正弦、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)乃是圓的幾何性質(zhì)（主要是其對稱性）的直接反映．”

任意角的三角函數(shù)的系統(tǒng)化是在18世紀的微積分研究中完成的．“微積分的一般工作的結果是：初等函數(shù)被充分地認識了，并實際已將它們發(fā)展成為我們今天所見到的樣子．”“三角函數(shù)的數(shù)學也系統(tǒng)化了．Newton和Leibniz給出了這些函數(shù)的級數(shù)展開式．兩個角的和與差的三角函數(shù)sin(x＋y)，sin(x－y)……的公式的發(fā)展應歸功于一批人……最后，Euler于1748年在關于木星和土星運動中的不等式的一篇得獎文章中給出了三角函數(shù)的一個十分系統(tǒng)的處理．在Euler1748年的《引論》中已經(jīng)搞清了三角函數(shù)的周期性，并引入了角的弧度制．”

3．任意角的三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)的關系

從上述簡單回顧可以看到，任意角的三角函數(shù)雖然與三角學（銳角三角函數(shù)）有淵源關系，某種意義上可以把前者看成是后者的進一步發(fā)展，但它們研究的是兩類不同的問題．“三角學所討論的課題是三角形的各種各樣的幾何量之間的函數(shù)關系” ，銳角三角函數(shù)是解三角形的工具；而任意角的三角函數(shù)卻不限于此，它是一個周期函數(shù)，是研究現(xiàn)實世界中周期變化現(xiàn)象的“最有表現(xiàn)力的函數(shù)”．另外，從數(shù)學發(fā)展的歷史看，任意角的三角函數(shù)在18世紀之所以得到系統(tǒng)研究（其中很重要的是函數(shù)的三角級數(shù)展開式問題），一個主要原因是三角函數(shù)具有周期性，這一特殊屬性在天文學、物理學中有大量的應用．三角級數(shù)“在天文學中之所以有用，顯然是由于它們是周期函數(shù)，而天文現(xiàn)象大都是周期的” ，而這種應用又與當時的數(shù)學研究的中心工作──微積分緊密結合，人們在研究行星運動的各種問題時，需要確定函數(shù)的Fourier展開式，而這種展開式（三角級數(shù)）的系數(shù)是用定積分表示的．

所以，銳角三角函數(shù)是研究三角形各種幾何量之間的關系而發(fā)展起來的，任意角三角函數(shù)是研究現(xiàn)實中的周期現(xiàn)象而發(fā)展起來的．它們研究的對象不同，表現(xiàn)的性質(zhì)也不同．我們既不能把任意角的三角函數(shù)看成是銳角三角函數(shù)的推廣（或一般化），又不能把銳角三角函數(shù)看成是任意角的三角函數(shù)在銳角范圍內(nèi)的“限定”．

4．用“單位圓定義法”的理由

用單位圓上點的坐標定義任意角的三角函數(shù)有許多優(yōu)點．

（1）簡單、清楚，突出三角函數(shù)最重要的性質(zhì)──周期性．采用“單位圓定義法”，對于任意角a，它的終邊與單位圓交點P(x，y)唯一確定，這樣，正弦、余弦函數(shù)中自變量與函數(shù)值之間的對應關系，即

角a（弧度）對應于點P的縱坐標y──正弦，

角a（弧度）對應于點P的橫坐標x──余弦，

可以得到非常清楚、明確的表示，而且這種表示也是簡單的．另外，“x= cosa，y= sina是單位圓的自然的動態(tài)（解析）描述，由此可以想到，正弦、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)就是圓的幾何性質(zhì)（主要是對稱性）的解析表述”，其中，單位圓上點的坐標隨著角a每隔2π（圓周長）而重復出現(xiàn)（點繞圓周一圈而回到原來的位置），非常直觀地顯示了這兩個函數(shù)的周期性．

“終邊定義法”需要經(jīng)過“取點──求距離──求比值”等步驟，對應關系不夠簡潔；“比值”作為三角函數(shù)值，其意義（幾何含義）不夠清晰； “從角的集合到比值的集合”的對應關系與學生熟悉的一般函數(shù)概念中的“數(shù)集到數(shù)集”的對應關系不一致，而且“比值”需要通過運算才能得到，任意一個角所對應的比值的唯一性（即與點的選取無關）也需要證明；“比值”的周期性變化規(guī)律也需要經(jīng)過推理才能得到．以往的教學實踐表明，許多學生在結束了三角函數(shù)的學習后還對三角函數(shù)的對應關系不甚了了，與“終邊定義法”的這些問題不無關系．

（2）有利于構建任意角的三角函數(shù)的知識結構．“單位圓定義法”以單位圓為載體，自變量a與函數(shù)值x，y的意義非常直觀而具體，單位圓中的三角函數(shù)線與定義有了直接聯(lián)系，從而使我們能方便地采用數(shù)形結合的思想討論三角函數(shù)的定義域、值域、函數(shù)值符號的變化規(guī)律、同角三角函數(shù)的基本關系式、誘導公式、周期性、單調(diào)性、最大值、最小值等．例如：

● P(x，y)在單位圓上|x|≤1，|y|≤1，即正弦、余弦函數(shù)的值域為[－1，1]；

● |OP|2=1sin2a +cos2a =1；

● 對于圓心的中心對稱性sin(π+a)=－sina，cos(π+a)=－cosa；

● 對于x軸的軸對稱性sin(－a)=－sina，cos(－a)=cosa；

● 對于y軸的軸對稱性sin(π－a)=sina，cos(π－a)=－cosa；

● 對于直線y=x的軸對稱性sin(－a)=cosa，cos(－a)=sina；

● sina在[－，]內(nèi)的單調(diào)性

      a：－ 0 πx：－1010－1 sina在[－，]上單調(diào)遞增，在[，]上單調(diào)遞減；

……

另外，學生在學習弧度制時，對于引進弧度制的必要性較難理解．“單位圓定義法”可以啟發(fā)學生反思：采用弧度制度量角，就是用單位圓的半徑來度量角，這時角度和半徑長度的單位一致，這樣，三角函數(shù)就是以實數(shù)（弧度數(shù)）為自變量，以單位圓上點的坐標（也是實數(shù)）為函數(shù)值的函數(shù)，這就與函數(shù)的一般定義一致了．另外，我們還可以這樣來理解三角函數(shù)中自變量與函數(shù)值之間的對應關系：把實數(shù)軸想象為一條柔軟的細線，原點固定在單位點A（1，0），數(shù)軸的正半軸逆時針纏繞在單位圓上，負半軸順時針纏繞在單位圓上，那么數(shù)軸上的任意一個實數(shù)（點）a被纏繞到單位圓上的點P(cosa，sina)．

（3）符合三角函數(shù)的發(fā)展歷史．前述三角函數(shù)發(fā)展史已經(jīng)表明，任意角的三角函數(shù)是因研究圓周運動的需要而產(chǎn)生的，數(shù)學史上，三角函數(shù)曾經(jīng)被稱為“圓函數(shù)”．所以，采用“單位圓定義法”能更真實地反映三角函數(shù)的發(fā)展進程．

（4）有利于后續(xù)學習．前已述及，“單位圓定義法”使三角函數(shù)反映的數(shù)形關系更直接，為后面討論三角函數(shù)的性質(zhì)和圖像奠定了很好的直觀基礎．不僅如此，這一定義還能為“兩角和與差的三角函數(shù)”的學習帶來方便，因為和（差）角公式實際上是“圓的旋轉(zhuǎn)對稱性”的解析表述，和（差）化積公式也是圓的反射對稱性的解析表述． 另外，這一定義中角的度量直接采用了弧度制，能為微積分的學習帶來方便．例如，重要極限=1幾乎就是定義的一個“推論”．

5．教科書中的任意角的三角函數(shù)的引入方式

“人教A版”首先通過“思考”，提出用直角坐標系中角的終邊上點的坐標表示銳角三角函數(shù)的問題，以引導學生回憶銳角三角函數(shù)概念，體會引進象限角概念后，用角的終邊上點的坐標比表示銳角三角函數(shù)的意義．教科書在定義任意角的三角函數(shù)之前，作了如下鋪墊：

直角三角形為載體的銳角三角函數(shù)象限角為載體的銳角三角函數(shù)

                            單位圓上點的坐標表示的銳角三角函數(shù)

這樣做的目的主要是為了以銳角三角函數(shù)為認知基礎來學習任意角的三角函數(shù)，使學生初步體會用單位圓上點的坐標表示銳角三角函數(shù)所具有的簡單、方便并反映本質(zhì)的好處，從而為“單位圓定義法”做好認知準備．需要注意的是，這樣做并不表明任意角的三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)之間有一般與特殊的關系．

事實上，用“單位圓定義法”單刀直入給出定義，然后再在適當時機聯(lián)系銳角三角函數(shù)，這也是一種不錯的選擇．

6．幾點說明

（1）“單位圓定義法”與“終邊定義法”本質(zhì)上是一致的．正因為此，各種數(shù)學出版物中，兩種定義方法都有采用．例如，由蘇聯(lián)科學院院士、世界著名數(shù)學家И.М.維諾格拉多夫主編，蘇聯(lián)百科全書出版社出版，被陳省身先生譽為“對數(shù)學的貢獻，將無法估計”的、具有世界性權威的《數(shù)學百科全書》（中譯本在2000年由科學出版社出版）中，采用了“單位圓定義法”；中國大百科全書出版社的《中國大百科全書?數(shù)學》（1992年版）中采用了“終邊定義法”．應當說，采用哪一種定義方法是一個取舍問題，沒有對錯之分，并不存在商榷的問題．因此，“單位圓上的點畢竟是特殊點，用它定義三角函數(shù)有失一般性”的認識是不正確的．值得強調(diào)的是正弦、余弦和正切函數(shù)在R（正切除a=(k∈Z) 外）上處處有定義，而不是角a的終邊上取點的任意性．

事實上，在老師們熟悉的“終邊定義法”中，給出定義后有如下說明：“根據(jù)相似三角形的知識，對于確定的角a，這三個比值（如果有的話）都不會隨點P在a的終邊上的位置的改變而改變……對于確定的角a，上面三個比值都是唯一確定的．這就是說，正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)．”這恰恰說明了“以角a的終邊與單位圓的交點坐標為‘比值’”是不失一般性的．另外，用“單位圓定義法”直截了當、簡潔易懂，不需要這樣的說明，就更顯出其好處了．

（2）《高中數(shù)學課程標準（實驗）》只要求正弦、余弦和正切三個函數(shù)，其目的是削枝強干，是非常正確的．進一步地，三角函數(shù)中，正弦、余弦函數(shù)是“基本三角函數(shù)”，其余都是通過這兩個函數(shù)的運算（相除、取倒數(shù)等）而得到的，或者說是從這兩個函數(shù)“派生”出來的．這樣理解各三角函數(shù)的關系，那么“用單位圓上點的坐標定義正切函數(shù)，由于它未能化簡三角函數(shù)的比值，所以它就沒有什么特別的意義”的擔心也就不必要了．

（3）“人教A版”在給出三角函數(shù)定義后，有如下兩個例題：

例1 求的正弦、余弦和正切值．

例2 已知角a的終邊經(jīng)過點P0(－3，－4)，求角a的正弦、余弦和正切值．

它們的作用主要是讓學生熟悉定義．例1的解答要用銳角三角函數(shù)知識，例2的解答要用一定的平面幾何知識，而許多學生的平面幾何基礎較差，所以有一定的困難，這是教學中需要注意的．另外，例2還有讓學生研究“終邊定義法”的意圖，教科書“邊空”的“小貼士”表明了這一點：“由例2可知，只要知道角a終邊上任意一點的坐標，就可以求出角a的三角函數(shù)值．因此，利用角a終邊上任意一點的坐標也可以定義三角函數(shù)．你能自己給出這種定義嗎？”

至于類似“已知角a終邊上一點的坐標是（3a,4a）,求角a的三角函數(shù)值”的問題，顯然是一個細枝末節(jié)問題，與三角函數(shù)的核心知識無關．

參考文獻：

 ① [美]M. 克萊因. 古今數(shù)學思想（第二冊）[M]. 上海：上�？茖W技術出版社，1979，43
　　 ② 項武義. 基礎數(shù)學講義叢書?基礎幾何學[M]. 北京：人民教育出版社，2004，82
　　 ③ 同①，122~123
 　�、� 同②，82
　　 ⑤ 同①，182
　　 ⑥ 詳見②，84~87