2014-2015學(xué)年遼寧省大連市莊河二中九年級（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題
1．方程：① ，②2x2?5xy+y2=0，③7x2+1=0，④ 中一元二次方程是（ �。�
A． ①和② B． ②和③ C． ③和④ D． ①和③
2．一元二次方程x2?4=0的解是（ �。�
A． x=2 B． x=?2 C． x1=2，x2=?2 D． x1= ，x2=?
3．方程x2?3x?2=0的根的情況是（ �。�
A． 方程有兩個相等的實數(shù)根 B． 方程有兩個不相等的實數(shù)根
C． 方程沒有實數(shù)根 D． 方程的根的情況無法確定
4．拋物線y=（x?2）2+3的對稱軸是（ �。�
A． 直線x=?2 B． 直線x=2 C． 直線x=?3 D． 直線x=3
5．拋物線y=3x2向右平移1個單位，再向下平移2個單位，所得到的拋物線是（ ）
A． y=3（x?1）2?2 B． y=3（x+1）2?2 C． y=3（x+1）2+2 D． y=3（x?1）2+2
6．在同一坐標系中，拋物線y=4x2，y= x2，y=? x2的共同特點是（ �。�
A． 關(guān)于y軸對稱，開口向上
B． 關(guān)于y軸對稱，y隨x的增大而增大
C． 關(guān)于y軸對稱，y隨x的增大而減小
D． 關(guān)于y軸對稱，頂點是原點
7．若關(guān)于x的一元二次方程（a+1）x2+4x+a2?1=0的常數(shù)項為0，則a的值等于（ �。�
A． 1或?1 B． 2 C． 1 D． 0
8．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，在下列四個結(jié)論中：
①2a?b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a?b+c＞0．
錯誤的個數(shù)有（ ）
A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個
二、填空題
9．方程x（x?2）=0的根是 �。�
10．如果x=2是一元二次方程x2+bx+2=0的一個根，則b= �。�
11．若關(guān)于x的一元二次方程x2?2x?k=0沒有實數(shù)根，則k的取值范圍是 ．
12．某縣2008年農(nóng)民人均年收入為7 800元，計劃到2010年，農(nóng)民人均年收入達到9 100元．設(shè)人均年收入的平均增長率為x，則可列方程 ．
13．拋物線y=x2?2x?3的對稱軸是直線 �。�
14．邊長為2的正方形，如果邊長增加x，則面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式是S= ．
15．若二次函數(shù)y=2x2經(jīng)過平移后頂點的坐標為（?2，3），則平移后的解析式為 �。�
16．如圖，點A，B的坐標分別為（1，4）和（4，4），拋物線y=a（x?m）2+n的頂點在線段AB上運動，與x軸交于C、D兩點（C在D的左側(cè)），點C的橫坐標最小值為?3，則點D的橫坐標最大值為 ．
三、解答題
17．解方程：
（1）（x?2）2=1；
（2）2x2?4x?1=0．
18．如圖，某中學(xué)準備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個矩形花園ABCD（圍墻MN最長可利用22m），現(xiàn)在已備足可以砌50m長的墻的材料，試設(shè)計一種砌法，使矩形花園的面積為300m2．
19．已知二次函數(shù)y=?2x2+8x?6，完成下列各題：
（1）將函數(shù)關(guān)系式用配方法化為y=a（x+h）2+k的形式，并寫出它的頂點坐標、對稱軸；
（2）它的圖象與x軸交于A，B兩點，頂點為C，求S△ABC．
四、解答題
20．某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克．現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千克應(yīng)漲價多少元？
21．如圖，直線y=x+m和拋物線y=x2+bx+c都經(jīng)過點A（1，0），B（3，2）．
（1）求m的值和拋物線的解析式；
（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接寫出答案）
22．雜技團進行雜技表演，演員從蹺蹺板右端A處彈跳到人梯頂端椅子B處，其身體（看成一點）的路線是拋物線y= x2+3x+1的一部分，如圖所示．
（1）求演員彈跳離地面的最大高度；
（2）已知人梯高BC=3.4米，在一次表演中，人梯到起跳點A的水平距離是4米，問這次表演是否成功？請說明理由．
五．解答題
23．如圖所示，在直角坐標系中，矩形ABCD的邊AD在x軸上，點A在原點，AB=3，AD=5．若矩形以每秒2個單位長度沿x軸正方向作勻速運動．同時點P從A點出發(fā)以每秒1個單位長度沿A?B?C?D的路線作勻速運動．當(dāng)P點運動到D點時停止運動，矩形ABCD也隨之停止運動．
（1）求P點從A點運動到D點所需的時間；
（2）設(shè)P點運動時間為t（秒）．
①當(dāng)t=5時，求出點P的坐標；
②若△OAP的面積為s，試求出s與t之間的函數(shù)關(guān)系式（并寫出相應(yīng)的自變量t的取值范圍）．
24．△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C為他們的公共直角頂點，連AD，BE，F(xiàn)為線段AD的中點，連CF．
（1）如圖1，當(dāng)D點在BC上時，試探索BE與CF的關(guān)系，并證明；
（2）如圖2，把△DEC繞C點順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角，其他條件不變，問（1）中的關(guān)系是否仍然成立？如果成立請證明；如果不成立，請寫出相應(yīng)的正確的結(jié)論并加以證明．
25．如圖，二次函數(shù) 與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，點P從A點出發(fā)，以1個單位每秒的速度向點B運動，點Q同時從C點出發(fā)，以相同的速度向y軸正方向運動，運動時間為t秒，點P到達B點時，點Q同時停止運動．設(shè)PQ交直線AC于點G．
（1）求直線AC的解析式；
（2）設(shè)△PQC的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式；
（3）在y軸上找一點M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形．直接寫出所有滿足條件的M點的坐標；
（4）過點P作PE⊥AC，垂足為E，當(dāng)P點運動時，線段EG的長度是否發(fā)生改變，請說明理由．
2014-2015學(xué)年遼寧省大連市莊河二中九年級（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題
1．方程：① ，②2x2?5xy+y2=0，③7x2+1=0，④ 中一元二次方程是（ �。�
A． ①和② B． ②和③ C． ③和④ D． ①和③
考點： 一元二次方程的定義．
分析： 本題根據(jù)一元二次方程的定義解答．
一元二次方程必須滿足四個條件：
（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；
（2）二次項系數(shù)不為0；
（3）是整式方程；
（4）含有一個未知數(shù)．由這四個條件對四個選項進行驗證，滿足這四個條件者為正確答案．
解答： 解：①不是整式方程，故錯誤；
②含有2個未知數(shù)，故錯誤；
③正確；
④正確．
則是一元二次方程的是③④．故選C．
點評： 一元二次方程必須滿足四個條件：首先判斷方程是整式方程，若是整式方程，再把方程進行化簡，化簡后是含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，在判斷時，一定要注意二次項系數(shù)不是0．
2．一元二次方程x2?4=0的解是（ �。�
A． x=2 B． x=?2 C． x1=2，x2=?2 D． x1= ，x2=?
考點： 解一元二次方程-直接開平方法．
分析： 觀察發(fā)現(xiàn)方程的兩邊同時加4后，左邊是一個完全平方式，即x2=4，即原題轉(zhuǎn)化為求4的平方根．
解答： 解：移項得：x2=4，
∴x=±2，即x1=2，x2=?2．
故選：C．
點評： （1）用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同號且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負，分開求得方程解．
（2）用直接開方法求一元二次方程的解，要仔細觀察方程的特點．
3．方程x2?3x?2=0的根的情況是（ ）
A． 方程有兩個相等的實數(shù)根 B． 方程有兩個不相等的實數(shù)根
C． 方程沒有實數(shù)根 D． 方程的根的情況無法確定
考點： 根的判別式．
分析： 直接根據(jù)一元二次方程根的判別式求出△的值即可作出判斷．
解答： 解：∵方程x2?3x?2=0中，△=（?3）2?4×1×（?2）=9+8=17＞0，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．
故選：B．
點評： 本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2?4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當(dāng)△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當(dāng)△＜0時，方程無實數(shù)根．
4．拋物線y=（x?2）2+3的對稱軸是（ �。�
A． 直線x=?2 B． 直線x=2 C． 直線x=?3 D． 直線x=3
考點： 二次函數(shù)的性質(zhì)．
分析： 直接根據(jù)頂點式的特點可直接寫出對稱軸．
解答： 解：因為拋物線解析式y(tǒng)=（x?2）2+3是頂點式，頂點坐標為（2，3），所以對稱軸為直線x=2．
故選B．
點評： 主要考查了求拋物線的對稱軸的方法．
5．拋物線y=3x2向右平移1個單位，再向下平移2個單位，所得到的拋物線是（ �。�
A． y=3（x?1）2?2 B． y=3（x+1）2?2 C． y=3（x+1）2+2 D． y=3（x?1）2+2
考點： 二次函數(shù)圖象與幾何變換．
分析： 根據(jù)圖象向下平移減，向右平移減，可得答案．
解答： 解：拋物線y=3x2向右平移1個單位，再向下平移2個單位，所得到的拋物線是y=3（x?1）2?2，
故選：A．
點評： 本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，用平移規(guī)律“左加右減，上加下減”直接代入函數(shù)解析式求得平移后的函數(shù)解析式．
6．在同一坐標系中，拋物線y=4x2，y= x2，y=? x2的共同特點是（ ）
A． 關(guān)于y軸對稱，開口向上
B． 關(guān)于y軸對稱，y隨x的增大而增大
C． 關(guān)于y軸對稱，y隨x的增大而減小
D． 關(guān)于y軸對稱，頂點是原點
考點： 二次函數(shù)的圖象．
分析： 形如y=ax2的拋物線共同特點就是：關(guān)于y軸對稱，頂點是原點，a正負性決定開口方向．a(chǎn)的絕對值大小決定開口的大�。�
解答： 解：因為拋物線y=4x2，y= x2，y=? x2都符合拋物線的最簡形式y(tǒng)=ax2，其對稱軸是y軸，頂點是原點．
故選D．
點評： 要求掌握形如y=ax2的拋物線性質(zhì)．
7．若關(guān)于x的一元二次方程（a+1）x2+4x+a2?1=0的常數(shù)項為0，則a的值等于（ �。�
A． 1或?1 B． 2 C． 1 D． 0
考點： 一元二次方程的一般形式．
分析： 根據(jù)一元二次方程的定義解答．
解答： 解：∵一元二次方程（a+1）x2+4x+a2?1=0的常數(shù)項為0，
∴ ，
解得a=1，
故選C．
點評： 本題考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．
8．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，在下列四個結(jié)論中：
①2a?b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a?b+c＞0．
錯誤的個數(shù)有（ ）
A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個
考點： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
分析： 根據(jù)對稱軸方程，拋物線開口方向、與y軸交點坐標位置確定a、b、c的負號，根據(jù)圖象知x=?1與x=1時所對應(yīng)的y的負號進行判斷．
解答： 解：如圖所示，∵拋物線開口方向向下，
∴a＜0．
又對稱軸?1＜x=? ＜0，
∴b＜0，且b＞2a，則2a?b＜0．
故①正確；
∵拋物線與y軸交于負半軸，
∴c＜0，
∴abc＜0．
故②正確；
如圖所示，當(dāng)x=1時，y＜0，即 a+b+c＜0．故③正確；
④如圖所示，當(dāng)x=?1時，y＜0，即a?b+c＜0．故④錯誤．
綜上所述，錯誤的個數(shù)是1．
故選：A．
點評： 本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．二次函數(shù)y=ax2+bx+c系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點拋物線與x軸交點的個數(shù)確定．
二、填空題
9．方程x（x?2）=0的根是 0，2�。�
考點： 解一元二次方程-因式分解法．
專題： 計算題．
分析： 根據(jù)“兩式的乘積為0，則至少有一個式子的值為0”來解該題．
解答： 解：x（x?2）=0
即：x=o或x?2=0
解得x=0或x=2
故答案為：0，2．
點評： 因式分解法是解一元二次方程的一種簡便方法，要會靈活運用．
10．如果x=2是一元二次方程x2+bx+2=0的一個根，則b= ?3�。�
考點： 一元二次方程的解．
分析： 把x=2代入方程x2+bx+2=0得出方程4+2b+2=0，求出方程的解即可．
解答： 解：把x=2代入方程x2+bx+2=0得：4+2b+2=0，
解得：b=?3，
故答案為：?3．
點評： 本題考查了一元二次方程的解，解此題的關(guān)鍵是能否得出一個關(guān)于b的方程．
11．若關(guān)于x的一元二次方程x2?2x?k=0沒有實數(shù)根，則k的取值范圍是 k＜?1 ．
考點： 根的判別式．
分析： 根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x2?2x?k=0沒有實數(shù)根，得出△=4+4k＜0，再進行計算即可．
解答： 解：∵一元二次方程x2?2x?k=0沒有實數(shù)根，
∴△=（?2）2?4×1×（?k）=4+4k＜0，
∴k的取值范圍是k＜?1；
故答案為：k＜?1．
點評： 本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2?4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實數(shù)根．
12．某縣2008年農(nóng)民人均年收入為7 800元，計劃到2010年，農(nóng)民人均年收入達到9 100元．設(shè)人均年收入的平均增長率為x，則可列方程 7800（x+1）2=9100�。�
考點： 由實際問題抽象出一元二次方程．
專題： 增長率問題．
分析： 主要考查增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量×（1+增長率），如果設(shè)人均年收入的平均增長率為x，根據(jù)題意即可列出方程．
解答： 解：設(shè)人均年收入的平均增長率為x，根據(jù)題意可列出方程為：7800（x+1）2=9100．
故答案為：7800（x+1）2=9100．
點評： 本題重點考查列一元二次方程解答有關(guān)平均增長率問題．本題易錯誤為：7800（1+x）×2=9100，其錯誤的原因是把2009年、2010年人均年收入相對的整體“1”看成2008年的人均年收入．對于平均增長率問題，在理解的基礎(chǔ)上，可歸結(jié)為a（1+x）2=b（a＜b）；平均降低率問題，在理解的基礎(chǔ)上，可歸結(jié)為a（1?x）2=b（a＞b）．
13．拋物線y=x2?2x?3的對稱軸是直線 x=1�。�
考點： 二次函數(shù)的性質(zhì)．
分析： 利用頂點坐標公式，可求頂點橫坐標，即為對稱軸．也可以利用配方法求對稱軸．
解答： 解：解法1：利用公式法
y=ax2+bx+c的頂點坐標公式為（ ， ），代入數(shù)值求得對稱軸是直線x=1；
解法2：利用配方法
y=x2?2x?3=x2?2x+1?4=（x?1）2?4，故對稱軸是直線x=1．
故答案為：x=1．
點評： 求拋物線的頂點坐標、對稱軸及最值通常有兩種方法：（1）公式法；（2）配方法．
14．邊長為2的正方形，如果邊長增加x，則面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式是S= x2+4x+4�。�
考點： 根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式．
分析： 依據(jù)新正方形的面積=新邊長2，即可求解．
解答： 解：新正方形的邊長是x+2，則面積S=（x+2）2=x2+4x+4．
點評： 根據(jù)題意，找到所求量的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
15．若二次函數(shù)y=2x2經(jīng)過平移后頂點的坐標為（?2，3），則平移后的解析式為 y=2x2+8x+11�。�
考點： 二次函數(shù)圖象與幾何變換．
專題： 幾何變換．
分析： 由于平移后拋物線的開口方向和形狀沒改變，即a的值不變，則可根據(jù)頂點式寫出平移后的拋物線解析式．
解答： 解：拋物線y=2x2經(jīng)過平移后頂點的坐標為（?2，3），
則平移后的解析式為y=2（x+2）2+3=2x2+8x+11．
故答案為y=2x2+8x+11．
點評： 本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通�？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．
16．如圖，點A，B的坐標分別為（1，4）和（4，4），拋物線y=a（x?m）2+n的頂點在線段AB上運動，與x軸交于C、D兩點（C在D的左側(cè)），點C的橫坐標最小值為?3，則點D的橫坐標最大值為 8�。�
考點： 二次函數(shù)綜合題；解一元二次方程-直接開平方法；二次函數(shù)的性質(zhì)；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．
專題： 計算題；壓軸題．
分析： 當(dāng)C點橫坐標最小時，拋物線頂點必為A（1，4），根據(jù)此時拋物線的對稱軸，可判斷出CD間的距離；
當(dāng)D點橫坐標最大時，拋物線頂點為B（4，4），再根據(jù)此時拋物線的對稱軸及CD的長，可判斷出D點橫坐標最大值．
解答： 解：當(dāng)點C橫坐標為?3時，拋物線頂點為A（1，4），對稱軸為x=1，此時D點橫坐標為5，則CD=8；
當(dāng)拋物線頂點為B（4，4）時，拋物線對稱軸為x=4，且CD=8，故C（0，0），D（8，0）；
由于此時D點橫坐標最大，
故點D的橫坐標最大值為8；
故答案為：8．
點評： 本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，用直接開平方法解一元二次方程等知識點，理解題意并根據(jù)已知求二次函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵，此題是一個比較典型的題目．
三、解答題
17．解方程：
（1）（x?2）2=1；
（2）2x2?4x?1=0．
考點： 解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-直接開平方法．
專題： 計算題．
分析： （1）方程利用平方根定義計算即可求出解；
（2）方程利用公式法求出解即可．
解答： 解：（1）開方得：x?2=1或x?2=?1，
解得：x1=3，x2=1；
（2）這里a=2，b=?4，c=?1，
∵△=16?4×2×（?1）=24＞0，
∴x= = ．
點評： 此題考查了解一元二次方程?公式法，以及直接開平方法，熟練掌握各種解法是解本題的關(guān)鍵．
18．如圖，某中學(xué)準備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個矩形花園ABCD（圍墻MN最長可利用22m），現(xiàn)在已備足可以砌50m長的墻的材料，試設(shè)計一種砌法，使矩形花園的面積為300m2．
考點： 一元二次方程的應(yīng)用．
專題： 幾何圖形問題．
分析： 根據(jù)可以砌50m長的墻的材料，即總長度是50米，設(shè)AB=x米，則BC=（50?2x）米，再根據(jù)矩形的面積公式列方程，解一元二次方程即可．
解答： 解：設(shè)AB=x米，則BC=（50?2x）米．
根據(jù)題意可得，x（50?2x）=300，
解得：x1=10，x2=15，
當(dāng)x=10，BC=50?10?10=30＞22，
故x1=10（不合題意舍去），
當(dāng)x=15時，BC=50?2×15=20（米）．
答：可以圍成AB的長為15米，BC為20米的矩形．
點評： 本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系求解，注意圍墻MN最長可利用22m，舍掉不符合題意的數(shù)據(jù)．
19．已知二次函數(shù)y=?2x2+8x?6，完成下列各題：
（1）將函數(shù)關(guān)系式用配方法化為y=a（x+h）2+k的形式，并寫出它的頂點坐標、對稱軸；
（2）它的圖象與x軸交于A，B兩點，頂點為C，求S△ABC．
考點： 二次函數(shù)的三種形式．
分析： （1）利用配方法整理成頂點式，然后寫出頂點坐標和對稱軸即可；
（2）令y=0解關(guān)于x的一元二次方程，即可得到與x軸的交點坐標，然后利用三角形的面積公式計算即可；
解答： 解：（1）y=?2x2+8x?6
=?2（x2?4x+3）
=?2（x2?4x+4?4+3．
=?2（x?2）2+2，
∴頂點坐標為（2，2），對稱軸為直線x=2．
（2）令?2（x?2）2+2=0
解得：x1=3，x2=1．
∴A（3，0），B（1，0）
∴AB=3?1=2．
∴C（2，2），
∴S△ABC= ×2×2=2．
點評： 本題考查了二次函數(shù)的三種形式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與x軸的交點問題，熟練掌握配方法的操作整理成頂點式形式求出頂點坐標和對稱軸更加簡便．
四、解答題
20．某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克．現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千克應(yīng)漲價多少元？
考點： 一元二次方程的應(yīng)用．
專題： 銷售問題；壓軸題．
分析： 設(shè)每千克水果應(yīng)漲價x元，得出日銷售量將減少20x千克，再由盈利額=每千克盈利×日銷售量，依題意得方程求解即可．
解答： 解：設(shè)每千克水果應(yīng)漲價x元，
依題意得方程：（500?20x）（10+x）=6000，
整理，得x2?15x+50=0，
解這個方程，得x1=5，x2=10．
要使顧客得到實惠，應(yīng)取x=5．
答：每千克水果應(yīng)漲價5元．
點評： 解答此題的關(guān)鍵是熟知此題的等量關(guān)系是：盈利額=每千克盈利×日銷售量．
21．如圖，直線y=x+m和拋物線y=x2+bx+c都經(jīng)過點A（1，0），B（3，2）．
（1）求m的值和拋物線的解析式；
（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接寫出答案）
考點： 二次函數(shù)與不等式（組）；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．
分析： （1）分別把點A（1，0），B（3，2）代入直線y=x+m和拋物線y=x2+bx+c，利用待定系數(shù)法解得y=x?1，y=x2?3x+2；
（2）根據(jù)題意列出不等式，直接解二元一次不等式即可，或者根據(jù)圖象可知，x2?3x+2＞x?1的圖象上x的范圍是x＜1或x＞3．
解答： 解：（1）把點A（1，0），B（3，2）分別代入直線y=x+m和拋物線y=x2+bx+c得：
0=1+m， ，
∴m=?1，b=?3，c=2，
所以y=x?1，y=x2?3x+2；
（2）x2?3x+2＞x?1，解得：x＜1或x＞3．
點評： 主要考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)．要具備讀圖的能力．
22．雜技團進行雜技表演，演員從蹺蹺板右端A處彈跳到人梯頂端椅子B處，其身體（看成一點）的路線是拋物線y= x2+3x+1的一部分，如圖所示．
（1）求演員彈跳離地面的最大高度；
（2）已知人梯高BC=3.4米，在一次表演中，人梯到起跳點A的水平距離是4米，問這次表演是否成功？請說明理由．
考點： 二次函數(shù)的應(yīng)用．
專題： 壓軸題．
分析： （1）將二次函數(shù)化簡為y=? （x? ）2+ ，即可解出y最大的值．
（2）當(dāng)x=4時代入二次函數(shù)可得點B的坐標在拋物線上．
解答： 解：（1）將二次函數(shù)y= x2+3x+1化成y= （x ）2 ，（3分），
當(dāng)x= 時，y有最大值，y最大值= ，（5分）
因此，演員彈跳離地面的最大高度是4.75米．（6分）
（2）能成功表演．理由是：
當(dāng)x=4時，y= ×42+3×4+1=3.4．
即點B（4，3.4）在拋物線y= x2+3x+1上，
因此，能表演成功．（12分）．
點評： 本題考查點的坐標的求法及二次函數(shù)的實際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實際問題．
五．解答題
23．如圖所示，在直角坐標系中，矩形ABCD的邊AD在x軸上，點A在原點，AB=3，AD=5．若矩形以每秒2個單位長度沿x軸正方向作勻速運動．同時點P從A點出發(fā)以每秒1個單位長度沿A?B?C?D的路線作勻速運動．當(dāng)P點運動到D點時停止運動，矩形ABCD也隨之停止運動．
（1）求P點從A點運動到D點所需的時間；
（2）設(shè)P點運動時間為t（秒）．
①當(dāng)t=5時，求出點P的坐標；
②若△OAP的面積為s，試求出s與t之間的函數(shù)關(guān)系式（并寫出相應(yīng)的自變量t的取值范圍）．
考點： 二次函數(shù)綜合題；矩形的性質(zhì)．
專題： 動點型．
分析： 本題是二次函數(shù)的實際應(yīng)用題，需要由易到難，逐步解答，（1）、（2）①比較簡單，解答這兩個問題，可以幫助我們理解題意，搞清楚題目數(shù)量關(guān)系；
②由于動點P的位置有三種可能，需要表達分段函數(shù)．
解答： 解：（1）P點從A點運動到D點所需的時間=（3+5+3）÷1=11（秒）
（2）①當(dāng)t=5時，P點從A點運動到BC上，
過點P作PE⊥AD于點E．
此時A點到E點的時間=10秒，AB+BP=5，
∴BP=2
則PE=AB=3，AE=BP=2
∴OE=OA+AE=10+2=12
∴點P的坐標為（12，3）．
②分三種情況：
i.0＜t≤3時，點P在AB上運動，此時OA=2t，AP=t
∴s= ×2t×t=t2
ii.3＜t≤8時，點P在BC上運動，此時OA=2t
∴s= ×2t×3=3t
iii.8＜t＜11時，點P在CD上運動，此時OA=2t，AB+BC+CP=t
∴DP=（AB+BC+CD）?（AB+BC+CP）=11?t
∴s= ×2t×（11?t）=?t2+11t
綜上所述，s與t之間的函數(shù)關(guān)系式是：
當(dāng)0＜t≤3時，s=t2；
當(dāng)3＜t≤8時，s=3t；
當(dāng)8＜t＜11時，s=?t2+11t．
點評： 本題是二次函數(shù)與矩形性質(zhì)的綜合題，也是動態(tài)幾何問題，需要從運動中找規(guī)律，分類討論．
24．△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C為他們的公共直角頂點，連AD，BE，F(xiàn)為線段AD的中點，連CF．
（1）如圖1，當(dāng)D點在BC上時，試探索BE與CF的關(guān)系，并證明；
（2）如圖2，把△DEC繞C點順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角，其他條件不變，問（1）中的關(guān)系是否仍然成立？如果成立請證明；如果不成立，請寫出相應(yīng)的正確的結(jié)論并加以證明．
考點： 全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．
專題： 創(chuàng)新題型．
分析： （1）根據(jù)題干中給出的條件可以證明Rt△ADC≌Rt△BEC，可以得出CF= BE，且CF⊥BE；
（2）延長CF至點G使FG=FC，連接AG、GD，可證明△AGC≌△CEB同理可得CF= BE，且CF⊥BE．
解答： 解：（1）CF= BE，CF⊥BE．
∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C為它們的公共直角頂點
∴∠C=90°，
在Rt△ADC和Rt△BEC中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△BEC（HL），
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，
又∵F為線段AD的中點，
∴CF=DF= AD，
∴CF= BE，∠ADC=∠FCD，
∴∠BEC=∠FCD，
∵∠BEC+∠EBC=90°，
∴∠FCD+∠EBC=90°，
∴CF⊥BE．
（2）依然成立，即CF= BE，CF⊥BE，
延長CF至點G使FG=FC，連接AG、GD，
∵F為線段AD的中點，
∴四邊形ACDG為平行四邊形，
∴AG∥CD，AG=CD，
∠GAC+∠ACD=180°，
∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C為它們的共同直角頂點，
∴∠ACB=∠DCE=90°，CD=CE，AC=BC，
∴AG=CE，∠BCD+∠DAC+∠DAC+∠ACE=180°，
∴∠BCE+∠ACD=180°，
∴∠GAC=∠BCE，
在△AGC和△CEB中，
，
∴△AGC≌△CEB（SAS），
∴BE=CG，∠ACG=∠CBE
∵∠ACG+∠BCG=90°，
∴∠CBE+∠BCG=90°，
∴CF= BE，CF⊥BE．
點評： 本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了垂直的判定．
25．如圖，二次函數(shù) 與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，點P從A點出發(fā)，以1個單位每秒的速度向點B運動，點Q同時從C點出發(fā)，以相同的速度向y軸正方向運動，運動時間為t秒，點P到達B點時，點Q同時停止運動．設(shè)PQ交直線AC于點G．
（1）求直線AC的解析式；
（2）設(shè)△PQC的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式；
（3）在y軸上找一點M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形．直接寫出所有滿足條件的M點的坐標；
（4）過點P作PE⊥AC，垂足為E，當(dāng)P點運動時，線段EG的長度是否發(fā)生改變，請說明理由．
考點： 二次函數(shù)綜合題．
專題： 代數(shù)幾何綜合題；壓軸題．
分析： （1）直線AC經(jīng)過點A，C，根據(jù)拋物線的解析式面積可求得兩點坐標，利用待定系數(shù)法就可求得AC的解析式；
（2）根據(jù)三角形面積公式即可寫出解析式；
（3）可以分腰和底邊進行討論，即可確定點的坐標；
（4）過G作GH⊥y軸，根據(jù)三角形相似，相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求解．
解答： 解：（1）y=? x2+2，
x=0時，y=2，
y=0時，x=±2，
∴A（?2，0），B（2，0），C（0，2），
設(shè)直線AC的解析式是y=kx+b，
代入得： ，
解得：k=1，b=2，
即直線AC的解析式是y=x+2；
（2）當(dāng)0≤t＜2時，
OP=（2?t），QC=t，
∴△PQC的面積為：S= （2?t）t=? t2+t，
當(dāng)2＜t≤4時，
OP=（t?2），QC=t，
∴△PQC的面積為：S= （t?2）t= t2?t，
∴ ；
（3）當(dāng)AC或BC為等腰三角形的腰時，
AC=MC=BC時，M點坐標為（0，2?2 ）和（0，2+2 ）
當(dāng)AC=AM=BC 時，M為（0，?2）
當(dāng)AM=MC=BM時M為（0，0）．
∴一共四個點，（0， ），（0， ），（0，?2），（0，0）；
（4）當(dāng)0＜t＜2時，過G作GH⊥y軸，垂足為H．
由AP=t，可得AE= ．
∵GH∥OP
∴ 即 = ，解得GH= ，
所以GC= GH= ．
于是，GE=AC?AE?GC= = ．
即GE的長度不變．
當(dāng)2＜t≤4時，過G作GH⊥y軸，垂足為H．
由AP=t，可得AE= ．
由 即 = ，
∴GH（2+t）=t（t?2）?（t?2）GH，
∴GH（2+t）+（t?2）GH=t（t?2），
∴2tGH=t（t?2），
解得GH= ，
所以GC= GH= ．
于是，GE=AC?AE+GC=2 ? t+ = ，
即GE的長度不變．
綜合得：當(dāng)P點運動時，線段EG的長度不發(fā)生改變，為定值 ．
點評： 本題屬于一道難度較大的二次函數(shù)題，綜合考查了三角形相似的性質(zhì)，需注意分類討論，全面考慮點M所在位置的各種情況．
本文來自：逍遙右腦記憶 http://m.xiqigame.cn/chusan/309277.html
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